study notes

P3           # "P3" means this is a RGB color image in ASCII
3 2          # "3 2" is the width and height of the image in pixels
255          # "255" is the maximum value for each color
# The part above is the header
# The part below is the image data: RGB triplets
255   0   0  # red
  0 255   0  # green
  0   0 255  # blue
255 255   0  # yellow
255 255 255  # white
  0   0   0  # black

./a.out > image.ppm

//outter for
std::cerr << "\rScanlines remaining: " << j << ' ' << std::flush;
//inner for
//...
//outter for end
std::cerr << "\nDone.\n";

• 一般的 3D 程序都需要 4D vector（3D加齐次坐标系）
• vec3 可以用于颜色，位置，方向，offsets 等等
• 使用不同的 alias 来表示不同类型的值

• 变量以成员函数：主要是一个长度为 3 的数组，对该数组的读取，以及一些常规的成员重载，求长度等等。
• 功能函数（友元）：加减乘，缩放，点积，叉积，单位向量

主要是将点的上色打包在一起：

void write_color(std::ostream &out, color pixel_color) {
    // Write the translated [0,255] value of each color component.
    out << static_cast<int>(255.999 * pixel_color.x()) << ' '
        << static_cast<int>(255.999 * pixel_color.y()) << ' '
        << static_cast<int>(255.999 * pixel_color.z()) << '\n';

射线由起始点与其在方向上的位移，也就是公式 $P(t) =A + t*b $ 定义：

• $A$ 是起始点
• $b$ 是方向，$t$ 是方向的常数量，有正负，因此 $t*b$ 则能表示在 $b$ 方向的位移

class ray {
    public:
        ray() {}
        ray(const point3& origin, const vec3& direction)
            : orig(origin), dir(direction)
        {}

        point3 origin() const  { return orig; }
        vec3 direction() const { return dir; }

        point3 at(double t) const {
            return orig + t*dir;
        }

    public:
        point3 orig;
        vec3 dir;
};

将射线发射至场景需要三个步骤：

1. 假设起始点是我们的眼睛（摄像机位置），那么需要计算眼睛到像素点的射线
2. 根据求出的射线判断几何体是否与其相交（如无遮挡，默认画布与射线都相交）
3. 以某种规则计算相交点的颜色

射线的信息：

• 起始点是我们的眼睛（摄像机点），定义为 (0,0,0)
• 终点是画布上的某个位置：
  • 该位置通过 u，v 坐标与画长宽的乘积表示。u / v 坐标可以视作标准化后的长宽（长宽比坐标）
  • 再与起始点相减则可得到方向

auto u = double(i) / (image_width-1);
auto v = double(j) / (image_height-1);
ray r(origin, lower_left_corner + u*horizontal + v*vertical - origin);

此处颜色的计算是根据当前射线在 $y$ 上的值来作为变量，使用线性插值(Linear interpolation)的方法来计算背景颜色。线性插值（也被成为 lerp）计算颜色的方法是指提供两个基础色，然后提供一个标准化的变量 (处于 $[0,1]$) 来控制颜色。颜色会在这俩个基础色中以线性渐变的形式表现出来。线性插值的公式：

$$blendedValue=(1−t)⋅startValue+t⋅endValue$$

$t$ 值此处与 $y$ 相关。由于我们的画布在 $y$ 上的范围是 $[-1,1]$，因此对 $t$ 也做了标准化处理：

vec3 unit_direction = unit_vector(r.direction());
auto t = 0.5*(unit_direction.y() + 1.0);
(1.0-t)*color(1.0, 1.0, 1.0) + t*color(0.5, 0.7, 1.0);

auto lower_left_corner = origin - horizontal/2 - vertical/2 - vec3(0, 0, focal_length);

几何体是否可见的关键在于判断射线是否与其发生了碰撞。

首先看一下球体的公式： $$x^2+y^2+z^2 = R^2$$ 其中 $(x,y,z)$ 代表在球体上的点。假设该球体的中心为 $(C_x, C_y, C_z)$，则该公式可以写成： $$(x - C_x)^2 + (y - C_y)^2 + (z - C_z)^2 = r^2$$ 假设点 $P$ 的坐标为 $(x, y, z)$，可以发现向量： $$P-C = (x - C_x), (y - C_y), (z - C_z)$$ 而其自身点积的结果正好是上面球体公式扩展后左边的部分： $$dot((P-C), (P-C)) = (x - C_x)^2 + (y - C_y)^2 + (z - C_z)^2$$ 因此，球体的公式可以写成两个向量的点积形式： $$dot((P-C), (P-C)) = r^2$$ 那么，现在我们需要判断射线是否与球相交，只需要知道射线的点是否会落在球体的表面上即可。当射线落在球体表面时，射线的位置应该与球体的位置是相同的；也就是说，我们可以将 $p(t)$ 带入到球体公式里： $$dot((p(t)-C), (p(t)-C)) = r^2$$ 也就是： $$dot((A + tb -C), （A + tb -C)) = r^2$$ 现在利用点积的结合律对该等式进行扩展，我们可以得到一个关于 $t$ 的一元二次方程：

\[ \begin{align*} &dot((A + tb -C), (A + tb -C)) = r^2 \newline \Longrightarrow &dot(tb + {\color{Red}(A-C) }), (tb + {\color{Red}(A-C) }) = r^2 \newline \Longrightarrow &t^2 \cdot \underbrace{{\color{Peach} \cdot}(b,b)}_\text{a} +t \cdot \underbrace{2 \cdot {\color{Peach} } (b,(A-C))}_\text{b} +\ \underbrace{{\color{Peach} \cdot}((A-C),(A-C))-r^2}_\text{c} = 0 \end{align*} \]

可见的是，射线与球体是否相交的问题，就可以转变为关于 $t$ 的方程是否存在根的问题。这种情况下使用判别式 $b^2 -4ac$ 判断即可。

bool hit_sphere(const point3& center, double radius, const ray& r) {
    vec3 oc = r.origin() - center; // (A-C)
    auto a = dot(r.direction(), r.direction()); //Coefficient of t^2, a
    auto b = 2.0 * dot(oc, r.direction()); // Coefficient of t, b
    auto c = dot(oc, oc) - radius*radius; // Coefficient, c
    auto discriminant = b*b - 4*a*c; // discriminant
    return (discriminant > 0);
}

在圆中，外向法线被定义为从圆心到表现交叉点的向量，也就是交叉点减去圆心： $$ outward\, normal = P-Center; $$

我们在对法线的可视化过程中有两个地方适用向量的标准化处理：

• 法线本身的标准化处理，有助于 shading

vec3 N = unit_vector(r.at(t) - vec3(0,0,-1));

• 法线的可视化技巧：通常对法线的可视化是将法线的 x,y,z 与颜色的 r,g,b 对应起来，因此需要将将法线的范围从 $[-1,1]$ 映射到 $[0,1]$

return 0.5*color(N.x()+1, N.y()+1, N.z()+1);

需要注意的是，由于法线的可视化是利用法线本身的数据，因此我们的 hit_sphere 函数不再返回是否碰撞的信息 bool，而是直接返回 t 的值。根据 t 的值：

• 可以通过射线类 Ray 成员 at 找出交叉点
• 计算出该点法线，并交由 ray_color() 进行上色

if (discriminant < 0) {
return -1.0;
} else {
return (-b - sqrt(discriminant) ) / (2.0*a);
}

To correctly find the closest intersection in the interval [t 0 , t 1 ], there are three cases: if the smaller of the two solutions is in the interval, it is the first hit; otherwise, if the larger solution is in the interval, it is the first hit; otherwise, there is no hit.

除此之外, 如果 t 为负，则射线的方向与圆所在的方向相反，因此不可能有交集。这种情况下我们不会进行法线的计算：

if (t > 0.0) {
vec3 N = unit_vector(r.at(t) - vec3(0,0,-1));
return 0.5*color(N.x()+1, N.y()+1, N.z()+1);
}

令 $b = 2h$，则判别式可以简化为： $$ -b \pm \frac{\sqrt{(b^2-4ac)}}{2a} = -h \pm \frac{\sqrt{(h^2-ac)}}{a} $$

可以预见的是，渲染中的可碰撞物体并不只有圆，也并不是只有一个。因此，将碰撞这个行为抽象出来是很有必要的。我们将其设计为 hittable 抽象类，该抽象类将允许子类自定义射线碰撞检测的机制。这种机制通常分为两方面：

• 对多个可碰撞物体的的处理机制
• 对特定几何体的射线交叉检测机制

除此之外，我们还会为射线的变量 t 提供一个区间，来控制射线的长度。这样做可以筛选掉一些不必要的结果：比如在对法线对应的交叉点的检测中，我们只需要离我们最近的点（书上提到过，当 $t<0$ 时，只要改变圆心的 $z$ 坐标，依然可以渲染出结果；此时代表我们在看身后的物体），此时通过 t 的范围就可以将射线的方向限制在正方向以内：

class hittable {
public:
    virtual bool hit(const ray& r, double t_min, double t_max, hit_record& rec) const = 0;
};

hittable 抽象类还会用到交叉点的信息；为了方便，我们将其以对象的形式存储：

struct hit_record {
    point3 p;
    vec3 normal;
    double t;
};

现在我们拥有了 hittale 类，就可以定义专属与圆的交叉方法了。实现上，我们继承 hittable 类，并对虚函数 hit() 进行重写：

bool hit(const Ray &r, double t_min, double t_max, hit_record &rec) const override;

rec.t = root;
rec.p = r.at(rec.t);
rec.normal = (rec.p - center) / radius;

法线的设计有两种方式。

• 法线的方向与以圆心起始到射线相交点的向量方向一致。也就是说，如果相交的外置在表面外部，则法线与射线的方向相反；反之则方向相同。
• 第二种方式则是始终保持法线与射线相反。

选择使用哪种方式决定了怎样去描述内外都需要渲染的材质，比如双面的纸张，玻璃球等等。

• 第一种设计方式需要判断射线在表面的内侧还是外侧。这一点可以通过与指向外部的法线进行点积进行判断

if (dot(ray_direction, outward_normal) > 0.0) {
// ray is inside the sphere
...
} else {
// ray is outside the sphere
...
}

• 第二种设计方式也需要样验证射线与法线的方向是否一致：
  • 如果点积结果大于 0，证明方向相同，则当前法线应该与指向外部的法线方向相反；该表面为内部表面
  • 反之，则不用反转，该表面为外部表面

我们通过一个状态变量来保存表面属于内部还是外部：

bool front_face;
if (dot(ray_direction, outward_normal) > 0.0) {
// ray is inside the sphere
normal = -outward_normal;
front_face = false;
} else {
// ray is outside the sphere
normal = outward_normal;
front_face = true;
}

• 添加 front_face 变量与成员函数 set_face_normal 到 hit_record 类中，用于存储表面的位置信息和管理法线信息
• 在圆的相交检测中，需要将上述的结果进行存储

之前我们提到过 hittable 抽象类。该类的主要作用是用于不同类型以及不同数量的可相交物体。文中的 hittbale_list 类继承自 hittbale 类，用于对多个对象进行管理。其设计的使用到的主要 C++ 内容有：

• 智能指针
• vector

数据对象为：

• shared_ptr<vector<hittable»

主要的操作函数有：

• 添加函数 add，通过 vector::push_back() 实现
• 清空函数 clear，通过 shared_ptr 的成员 clear 实现
• hit 的重写版本，该重写版本将循环访问几何体列表中的所有对象，并调用其自身的 hit() 重写版本进行交叉检测，并返回是否相交的信息。如果存在相交，则将射线的范围上限设置到该相交点，并存储该点的所有信息。

rtweekend.h 用于存储一些常见的数学常量，工具函数，常用头文件，以及一些 using。 几个比较重要的成员：

• 无限大 <limit>
• 圆周率
• 角度与弧度的转换

使用 hittable_list 对象 world 对场景中的物体进行管理：

hittable_list world;
world.add(make_shared<sphere>(point3(0,0,-1), 0.5));
world.add(make_shared<sphere>(point3(0,-100.5,-1), 100)); //ground

调用 hittable_list 的成员 hit 对场景中所有的物体进行扫描，如果法线相交则返回以相交点法线为基础的，标准化后的 rgb 颜色；没有相交的点则根据之前的设置，以射线的 y 方向作为颜色基础进行背景渲染。关键代码如下：

hit_record rec;
if (world.hit(r, 0, infinity, rec)) {
return 0.5 * (rec.normal + color(1,1,1));
}

之前的算法以像素为单位，因此会在几何体边缘的部分有非常明显的边界，也就是所谓的锯齿（jaggies）。在实际应用中，我们希望通过对边界部分的前景和背景进行像素颜色的中和，获得比较柔和的渐变，从而达到消除锯齿的效果。本节中的抗锯齿技术原理非常简单：

• 以像素的位置为中心，随机对附近位置的点进行颜色计算（采样）
• 将这些点（sampled point）的颜色值累加到像素上
• 使用累加值除以采样点的数量（平均），即可得到最后的混合效果

对采样点位置的选择通常通过附加随机数的方式来选择。C 库中有 <cstlib> 的 rand() 可以使用：

#include <cstdlib>
...

inline double random_double() {
    // Returns a random real in [0,1).
    return rand() / (RAND_MAX + 1.0);
}

inline double random_double(double min, double max) {
    // Returns a random real in [min,max).
    return min + (max-min)*random_double();
}

#include <random>

inline double random_double() {
    static std::uniform_real_distribution<double> distribution(0.0, 1.0);
    static std::mt19937 generator;
    return distribution(generator);
}

整个过程：
<html>

</html>

直接将 main.cc 中的代码抄过去即可。主要的数据成员有：

point3 origin;
point3 lower_left_corner;
vec3 horizontal;
vec3 vertical;

ray get_ray(double u, double v) const {
    return ray(origin, lower_left_corner + u*horizontal + v*vertical - origin);
}

本节中，write_color() 函数需要承担两个任务：

• 对累加的着色值进行平均
• 将平均后的结果转移至 [0,256) 区间内

首先是平均着色值的操作。最终的着色值等于累加值除以采样点的个数，因此 write_color() 需要引进采样点的个数来完成平均操作：

void write_color(std::ostream &out, color pixel_color, int samples_per_pixel)
{
    ....
    // Divide the color by the number of samples.
    auto scale = 1.0 / samples_per_pixel;
    r *= scale;
    ....
}

inline double clamp(double x, double min, double max) {
    if (x < min) return min;
    if (x > max) return max;
    return x;
}

out << static_cast<int>(256 * clamp(r, 0.0, 0.999));
....

main 文件中主要的改动是在每个像素点下增加了一层循环，用于计算采样点的着色值。整个过程如下：

1. 对每个像素点的颜色进行初始化
2. 以指定采样数作为循环上限确定循环次数
3. 在每一次循环中，添加随机值像素点的 uv 坐标上，以此作为采样点坐标
4. 获取到该采样点的射线
5. 对该采样点进行着色，并将结果累加到像素点的着色值上
6. 最后将得到的累加颜色值输出，交由 write_color() 函数进行最终的平均，以及输出处理

for (int j = image_height-1; j >= 0; --j) {
        std::cerr << "\rScanlines remaining: " << j << ' ' << std::flush;
        for (int i = 0; i < image_width; ++i) {
            color pixel_color(0, 0, 0);
            for (int s = 0; s < samples_per_pixel; ++s) {
                auto u = (i + random_double()) / (image_width-1);
                auto v = (j + random_double()) / (image_height-1);
                ray r = cam.get_ray(u, v);
                pixel_color += ray_color(r, world);
            }
            write_color(std::cout, pixel_color, samples_per_pixel);
        }
    }

材质与几何模型绑定的方式有两种：

• 混合(分离): 材质可以赋予多个的同类型几何体,反之亦然
• 紧密绑定

本教程采取第一种方式。

漫反射的主要过程可以描述为：

1. 射线从相机出发
2. 当射线击中某个物体时，交叉点将成为下一次射线的发射源
3. 二次（N次）射线的发射方向是随机的（具体取决于模型）

• 漫反射材质不会发光
• 漫反射的颜色会根据材质内在的颜色而改变
• 漫反射的方向是随机的
• 漫反射材质会吸收一部分光线。表面越暗，吸收的越多

尽管次级射线的方向是随机的，但实际上根据模型的不同，射线方向的决定还是会或多或少的受到一些影响。本教程中介绍了两种模型：

• Ideal Lambertain
• 射线的方向均匀分布以碰撞点为中心的在整个半球上

无论射线的方向是如何确定的，次级射线的着色都可以被理解为如下的过程：

1. 从碰撞点出发
2. 如果与下个物体碰撞，则从该物体上的碰撞点继续产生新的次级射线
3. 只有当次级射线没有与物体碰撞时，才会停止形成新射线

因此，次级射线的发射可以被认为是一个递归的过程。每一次射线的发射都实在调用 ray_color() 这个函数，而结束条件为射线未击中任何几何体。该判断可以交由对应几何体的 hit() 函数来执行。

Ideal Lambertian 被定义为一种效果类似于 ”matte“ 的漫反射表面（更多定义可以查看 fundamental of comupter graphics 5.2.1 小节）。这种表面产生的次级射线的方向会以如下的策略来决定：

1. 以碰撞点 P 作为起点
2. 在 P 朝向当前碰撞表面的法线方向上，定义一个与当前表面相切，且过 P 点的单位球
3. 可知该单位球的球心为 P + N，N 为法线
4. 随后以该球体积作为范围进行随机点 S 的生成（位置取决于筛选的策略）
5. 最后，次级射线的方向将被定义为 P 到 S 的向量，也就是 S - P

随机点是一个 3D 向量。我们可以利用之前实现的 random_double() 函数在 X, Y, Z 三个方向上进行随机，将三个方向的 magnitude 都控制在 $[0,1]$ 之间，就可以得到一个边长为 1 正方体的取点范围。然后，利用生成的点与单位球球心的距离与单位球的半径进行比较，即可筛选出处于球内部的随机点。这种方法被称为 Rejection method：

vec3 random_in_unit_sphere() {
    while (true) {
        auto p = vec3::random(-1,1);
        if (p.length_squared() >= 1) continue;
        return p;
    }
}

由于次级射线的过程是以递归的形式来实现，当射线反射的次数过多时，很可能会造成栈内存的不足。实现中，我们需要为射线指定一个最大反射次数，来作为该递归的另外一个终结条件：

//in ray_color() function
//If we've exceeded the ray bounce limit, no more light is gathered.
if (depth <= 0)
        return color(0,0,0);

• ray_color() 将以递归的方式进行着色
• target 代表了单位球内的任意随机点，ray 通过该点与碰撞点 p 形成新的射线
• ray_color() 中添加了最大反射次数 max_depth 作为额外的递归结束条件
• 次级射线的着色值为之前 0.5 倍，也就是每折射一次被吸收一半
• 其他使用 ray_color() 的地方都应该修改对应的参数列表

color ray_color(const ray& r, const hittable& world, int depth) {
    hit_record rec;

    // If we've exceeded the ray bounce limit, no more light is gathered.
    if (depth <= 0)
        return color(0,0,0);

    if (world.hit(r, 0, infinity, rec)) {
        point3 target = rec.p + rec.normal + random_in_unit_sphere();
        return 0.5 * ray_color(ray(rec.p, target - rec.p), world, depth-1);
    }

上面的代码运行后，得到的结果非常暗，这是因为我们的图片浏览器认为该图像是 Gamma 正确的，而实际上并没有。Gamma 校正通常以下面的公式进行： $$Gamma \, N = Value^{\frac{1}{N}}$$ 书中使用了 Gamma 2.0 的标准，因此需要改写 write_color 函数中的 rgb 值：

// Divide the color by the number of samples and gamma-correct for gamma=2.0.
    auto scale = 1.0 / samples_per_pixel;
    r = sqrt(scale * r);
    g = sqrt(scale * g);
    b = sqrt(scale * b);

理论上我们将碰撞点作为次级射线的起点时，其位移 t 应等于 0。但由于精度原因，当相交发生的时候，记录在相交点中的 t 通常会相对 0 产生一些细微的误差，比如 t = -0.00000001。当这种情况发生的时候，我们的物体表面会形成一些黑点，这种现象被称为 Shadow-Acne。

产生这种错误的原因是次级射线与当前表面发生了相交，也就是所谓的自相交（self-intersection）。具体的来说：

• 理想状态下，射线与表面相交与 t=0 时。以此为基础，相交点的位置正好处于表面上
• 由于 t 的误差原因，如果 t 为负，实际上的相交点的位置会处于被相交物体的内部
• 因此，以该实际相交点作为起点的射线，会马上与当前的表面发生碰撞并着色

解决方案有两种：

1. 提高精度
2. 将碰撞点的最小值 tmin 稍微增加一点点，保证相交点不会因为误差的原因而处于被碰撞物体的内部。该值被称为 Shadow Bias，可以根据场景的不同来对其进行具体的调整。
   
   

本书的实现将 tmin 提高到了 0.001：

if (world.hit(r, 0.001, infinity, rec)) {
    //....
    }

Rejection method 是以法线的方向为基础生成的随机点的。其产生的分布并不是很均匀，而是大部分偏向于法线的方向。总的来说，假设射线方向与法线的夹角为 $\phi$，那么 Rejection method 产生的点的分布 scale 是 $cos^3(\phi)$。

对于 Ideal Lambertain 来说，其分布 scale 为 $cos(\phi)$。该方法生成的点离法线的距离近的机率更高，但点的分布也更加均匀。该方法通过将随机点控制在单位球的表面进行生成来实现。代码上来说，我们对 Rejection method 产生的随机点进行标准化，即可达到目的：

inline vec3 random_in_unit_sphere() {
    ...
}
vec3 random_unit_vector() {
    return unit_vector(random_in_unit_sphere());
}

• Ture Lambertain 方法产生的阴影更浅
• Ture Lamberrtain 方案下，小球与背景大球都变得更亮了

这是因为射线以一种更加均匀的方式进行了发射；这说明偏向法线方向的射线变少了，而该现象会导致两个结果：

• 参与向上反射的次级射线变少，因此阴影会更浅
• 偏向摄像机的射线更多，因此得到的渲染结果会更加明亮（在阴影区尤其明显）

除了 ideal Lambertian 模型，还有一种更直观的对 Ideal Lambertian 的近似模型（但其概率分布已经被证明是不正确的）。这种直观的模型认为次级射线的方向在所有的，相对于碰撞点的角度上，都应该均匀的分布（其分布区域实际上是一个半球），而不是依赖于法线来进行分布控制。因此，该随机方式只需要保证射线的方向与法线的方向同向（点积为正）即可：

vec3 random_in_hemisphere(const vec3& normal) {
    vec3 in_unit_sphere = random_in_unit_sphere();
    if (dot(in_unit_sphere, normal) > 0.0) // In the same hemisphere as the normal
        return in_unit_sphere;
    else
        return -in_unit_sphere;
}

point3 target = rec.p + random_in_hemisphere(rec.normal);

材质在实现上有两种类型：

• 大而全的通用材质
• 抽象自材质基类的特定材质

本文采取第二种实现方式。总的来说，所有的材质都需要实现两个基础功能：

• 生成反射的射线（或着说是吸收一部分射线）
• 控制反射光线的被吸收量（Attenuation）

简单的实现如下：

class material {
    public:
        virtual bool scatter(
            const ray& r_in, const hit_record& rec, color& attenuation, ray& scattered
        ) const = 0;
};

</html>

本课程中，射线与表面相交的相关信息都存储于 hit_record 对象中。由于光线的反射与衰减是通过材质来决定的，因此对应表面的材质信息也需要存储到该对象中，供之后的 ray_color() 着色使用。材质信息通过智能指针来管理：

class material;
//....
struct hit_record
{
    //....
    shared_ptr<material> mat_ptr;
}

当射线与表面相交时，hit_record 中的信息将被更新。本课中的表面均为球体，因此需要在球体的信息中附带其材质的信息。需要修改的有三项：

• 构造函数的材质参数，用于指定该球体的材质

sphere(point3 cen, double r, shared_ptr<material> m)
            : center(cen), radius(r), mat_ptr(m) {};

• 球体表面类 sphere 中的材质数据成员（由 shared_ptr 管理）

shared_ptr<material> mat_ptr;

• sphere::hit 需要在碰撞发生的时候将表面的材质信息交与 hit_record

rec.mat_ptr = mat_ptr;

这一节实际上是在实现具体的材质。散射的射线强度可以由几种方式来实现：

• 直接使用 reflectance $R$ 作为衰减率
• 使用 $1-R$ 作为射线的被吸收比
• 上述两者混用

除此之外，我们还可以让散射的衰减带有一定概率：引入概率值 $p$，用衰减率除以该值的结果作为新的衰减率，也就是 albedo / p。

需要实现的有两个部分：

• 成员 albedo，存储该材质的射线衰减率
• 重写函数 scatter，为当前材质指定射线生成的规则

class lambertian : public material {
    public:
        lambertian(const color& a) : albedo(a) {}

        virtual bool scatter(
            const ray& r_in, const hit_record& rec, color& attenuation, ray& scattered
        ) const override {
            auto scatter_direction = rec.normal + random_unit_vector();
            scattered = ray(rec.p, scatter_direction);
            attenuation = albedo;
            return true;
        }

    public:
        color albedo;
};

当 random_unit_vector() 生成的向量与 rec.normal 正好相反时，散射的方向将会得到一个零向量。这种情况将会导致一些问题（infinities ，NaNs），因此需要作出处理。为此，首先需要定义一个工具函数 near_zero() 判断得到的向量是否非常接近零向量：

//in vec3.h
bool near_zero() const {
        // Return true if the vector is close to zero in all dimensions.
        const auto s = 1e-8;
        return (fabs(e[0]) < s) && (fabs(e[1]) < s) && (fabs(e[2]) < s);
    }

// Catch degenerate scatter direction
if (scatter_direction.near_zero())
    scatter_direction = rec.normal;

与漫反射不同，光滑的金属产生的是镜面反射（Mirrored reflection）。镜面反射产生的射线方向与大小可由下图的关系计算出：



由图可知：

• 镜面反射生成的射线方向为： $v + 2 \cdot b$
• 镜面反射射线的 magnitude 为：$-v \cdot n$

依据点积的结合律，该射线可以表示为： $$ v + 2 * dot(-v, n) \Longrightarrow v - 2 *dot(v, n) $$ 实现：

//in vec3.h
vec3 reflect(const vec3& v, const vec3& n) {
    return v - 2*dot(v,n)*n;
}

metal 类与 lambertain 类的结构类似，也需要重写 scatter 函数和添加衰减率的成员。与 lambertain 不同的是，metal 生成的射线将按照镜面反射的规则来生成：

class metal : public material {
    public:
        metal(const color& a) : albedo(a) {}

        virtual bool scatter(
            const ray& r_in, const hit_record& rec, color& attenuation, ray& scattered
        ) const override {
            //scatter direction
            vec3 reflected = reflect(unit_vector(r_in.direction()), rec.normal);
            //scatter ray
            scattered = ray(rec.p, reflected);
            attenuation = albedo;
            return (dot(scattered.direction(), rec.normal) > 0);
        }

    public:
        color albedo;
};

镜面反射的结果可以通过随机偏离反射射线的方向来进行模糊，达到一种类似不光滑表面金属的反射效果。我们将这种反射称为模糊镜面反射（Fuzzy Reflection）。反射射线方向的偏离实现与 true lambertain 类似，也是使用与相交点相切的单位球来生成随机的射线方向。



实现中，metal 类添加了 fuzz 成员作为偏离的系数（越大越模糊）。该系数与 random_in_unit_sphere() 函数一起决定了反射射线最终的偏离量：

//cstr
metal(const color& a, double f) : albedo(a), fuzz(f < 1 ? f : 1) {}
//scattered ray with fuzzy reflection
scattered = ray(rec.p, reflected + fuzz*random_in_unit_sphere());

由于我们已经将 material 抽象化，因此需要使用指针进行对应材质的调用。此处我们允许自行指定材质的衰减率：

if (world.hit(r, 0.001, infinity, rec)) {
        ray scattered;
        color attenuation;
        if (rec.mat_ptr->scatter(r, rec, attenuation, scattered))
            return attenuation * ray_color(scattered, world, depth-1);
        return color(0,0,0);
    }

• 改变了背景大球的颜色
• 新增一左一右两球，材质为 metal
• 改变了中间球的颜色
• 模糊镜面反射版本需要提供额外的 fuzz 值

auto material_ground = make_shared<lambertian>(color(0.8, 0.8, 0.0));
auto material_center = make_shared<lambertian>(color(0.7, 0.3, 0.3));
auto material_left   = make_shared<metal>(color(0.8, 0.8, 0.8));
auto material_right  = make_shared<metal>(color(0.8, 0.6, 0.2));

world.add(make_shared<sphere>(point3( 0.0, -100.5, -1.0), 100.0, material_ground));
world.add(make_shared<sphere>(point3( 0.0,    0.0, -1.0),   0.5, material_center));
world.add(make_shared<sphere>(point3(-1.0,    0.0, -1.0),   0.5, material_left));
world.add(make_shared<sphere>(point3( 1.0,    0.0, -1.0),   0.5, material_right));