======Boolean Arithmetic and the ALU======
//Week 2 notes//
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====Binary Numbers====
二进制数以 ''0''，''1'' 的组合表示各式各样的数据：''n'' 位二级制数拥有 $2^n$ 的组合数量。
===二进制表示数字===
==Binary to Decimal==
二级制按照如下的规则转化为十进制：
  * 从左到右，从 0 开始，每一位的权为 $2^n$
  * 十进制的结果等于二进制数的带权和

比如下面的例子, ''101'' 转化的的结果是 ''5''：
\\ \\ 
{{ :cs:comp_n_arch:courses:fnti_i:2_to_10.svg?350 |}}
\\ \\ 
也就是如果有 ''k'' 位 Bit,最大能表达的数字为：

$$
1 + 2 + 4 +...+2^{k-1} = 2^k - 1
$$
==Fied word size==
计算机中字的长度是有限的，因此表示的范围也是有限的。理想情况下，一个 ''8'' 位的字可以表示 $2^8 = 256$ 个数字；但实际上，如果需要表示负数，那么 ''8'' 位的其中一位就会作为符号位，这样 8 bit 只能表示 ''0-127''
==Decimal to Binary==
按之前转化的逆顺序：
  * 找出当前 10 进制中最大的，可以通过 ''2^n'' 计算出的数
  * 从当前数中减去该数
  * 重复上面两步，直到只剩 ''1''($2^0$)
这个过程相当于是在还原二级制构造十进制的过程。因此，之前能找出来的数证明其对应的 Bit 上都是 ''1''，反之都是 ''0''。以 ''87'' 位例：
\\ \\ 
{{ :cs:comp_n_arch:courses:fnti_i:10_to_2.svg?400 |}}
\\ \\ 
====Binary Addition====
二进制的加法与十进制类似，按位相加：
\\ \\ 
{{ :cs:comp_n_arch:courses:fnti_i:addition.jpg?150 |}}
\\ \\ 
如果遇到 ''1+1'' 的情况，则进位。进位是逢 ''2'' 进 ''1''：
\\ \\ 
{{ :cs:comp_n_arch:courses:fnti_i:addition_2.jpg?200 |}}
===overflow===
如果最后一位相加也需要进位，此时结果长度超出了字的长度。我们称该情况为加法溢出（//overflow//）。解决的方式是：忽略所有额外的进位。从计算机的角度来考虑，如果加法超出了字长的限制，那么我们做的加法，就不再是真正的加法了。
===Adder 的设计===
从这个思路出发，Adder 的设计分为：
  * Half Adder：负责两个 Bit 的相加
  * Full Adder：负责三个 Bit，即两个 Bit 与 carry 的相加
==Half Adder==
//Half Adder// 完成的工作是将两个 Bits 相加。那么：
  * 输入：两个 bits
  * 输出：一个 bit （和），一个 carry（进位）
需要注意的是，两个 Bits 相加只和当前的 Bit 有关。只要是 ''1 + 1''，那么进位就是 ''1''，结果就是 ''0''。因此，我们可以得到如下的真值表：
\\ \\ 
{{ :cs:comp_n_arch:courses:fnti_i:half_adder.svg?240 |}}
==Full Adder==
//Full Adder// 完成的工作是将两个 Bits 与 carry 位相加：
  * 输入：bit a, b, c
  * 输出：sum, carry
其真值表也非常容易得到：
\\ \\ 
{{ :cs:comp_n_arch:courses:fnti_i:full_adder.svg?270 |}}
==Multi-bit Adder(16bits)==
这个 adder 由一系列的 half adder 和 full adder 组成。准确的来说，是 15 个 full adder 与 1 个（最右边的）half adder 组合在一起，组成了 16 bits 的，带进位的加法计算器。
====Negative Numbers====
表示负数的方式有三种：
  * signbit（原码）
  * Complement （补码）
===Signed Bit（原码）===
这种方式使用二进制的最高位作为符号位，以此来区分正负数。其他位不变，比如：
<code cil>
000 -> 0 100 -> -0
001 -> 1 101 -> -1
010 -> 2 110 -> -2
011 -> 3 111 -> -3
</code>
这种方法通常不会采用，有几个大的缺点：
  * ''-0'' 的定义，它与 ''0'' 的区别无法解释
  * 加减法无法处理。比如 ''1 + (-1)''，也就是 ''001 + 101'', 结果是 ''110''，为 ''-2'', 不是 ''0''