Vectors

3D math primer chapter 2

Vector 在数学上和物理上有不同的解释。数学上强调向量是一组数字，物理上强调向量是一个几何实体，并在尽可能的避免用坐标系去表述向量。

数学 / 计算机上来说，Vector 等同于 an array of numbers.

• Scalar: 标量，强调不是矢量
• Dimension: 指向量包含了多少数字。
• 向量有行/列写法。通常写成列向量（column vector），也就是按从上到下的方式写。
• 指定向量的某个元素：通过下标（subscript notation）来指定。通常在2、3、4维向量中（图形学），可以使用 x、y、z、w 代替数字下标。

3D数学主要考虑的是向量的几何解释与向量的操作。除少数要讨论n维矩阵的特殊场景，绝大大部分情况下只会用到2D、3D、4D的向量和矩阵。

几何上来说，向量是具有 大小（magnitude）和方向（direction）的线段。向量具有头部（head）和尾部（Tail）。从尾部到头部的方向即为向量的方向。

向量本身没有位置，只有大小和方向，通常用于描述事物之间的相对关系：比如 velocity 和 displacement（可对应标量的 speed 和 distance）。因此，只要大小方向一致，我们可以在任意位置描述同一个向量。

笛卡尔坐标系中，向量被描述为在每个坐标轴上的带符号的位移（signed displacement）。

向量可以描述成一系列的累积位移而得到的最终结果；位移的顺序不重要。

零向量是一个特殊的向量，该向量的维度与空间相同，向量中每一个分量的大小都为 0。相比其他向量，零向量有两个特点：

• 大小为 0
• 没有方向

零向量满足 additive identity (也就是 $\vec{a} + \vec{0} = \vec{a}$)

在示意图中一般将零向量描述为点（此处的点绝不意味着位置）。

通过之前的内容可以得出的结论是：向量强调的是位移的大小与方向，点强调的是位置。但实际上这两者是具有联系的。

需要明确的是，绝对的位置是不存在的。任何有意义的位置描述，必须基于一个原点来描述其位置。因此，对于位置的描述，都可以视作相较于原点的相对位置。更准确的说，位置是基于某种描述框架下的相对位置。

同时，相对位置可以使用位移来描述。比如某一个位置可以描述为“从原点开始，往上移动多少，往左移动多少”。在指定的框架中，向量用于描述从原点开始的位移，而点用于描述通过该位移得到的，相对于原点的位置，因此这两者之间是可以联系起来的，也就是在数学上是等价的。

Negation operation 也适用于向量，如下： $$\vec{v} + (\vec{-v}) = 0$$ 当 Negating 向量的时候，需要将向量中每一个元素进行反转。

Negating 得到的结果是一个 magnitude 相同，但 direction 完全与原向量相反的新向量。

标量与向量的乘法的结果等于将标量与向量中每个元素相乘后组成的新向量： 当标量不为 0 的时候，该运算可以推广到除法： 需要注意的是，当被除数为标量的时候，向量不一定能作为除数。

向量与标量的乘法在几何上等于将向量按标量倍数缩放。

数学上来说，当对 vector 进行加减的时候，实际上是对 vector 中的对应元素进行加减： 加法满足交换律（Communitive），而减法满足反交换律（Anti-Cimmunitive，$a-b = -(b-a)$ )

$b$ 以 $a$ 的头部作为起始点。结果为以 $a$ 的尾部为起点，$b$ 的头部为终点的新向量。显然先 $a$ 后 $b$ 的结果与 $a+b$ 的结果相同，这也被称为向量加法的三角形法则。减法也同理：

三角形法则可以被拓展到多个向量的加减法中。从几何上来说，这就是之前提到的一个向量可以被描述为在多个方向上的位移。

三角形法则可以被用于计算两点之间的displancement；如果 $a$ 代表一点，$b$ 代表另外一点，那么从$a$ 到 $b$ 的 displacement 为 $b-a$。

向量的长度又称为向量的 Magnitude, 也被称为向量的范数（norm），其计算方式为分量平方和的平方根：

可以将向量的长度以及其分量构造为直角三角形，则向量的长度是斜边（Hypotenuse）： 根据勾股定理则可得出向量长度公式。

单位向量（Unit Vector），又称标准化向量（normalized Vector），用于只考虑向量的方向而不考虑向量的大小的情况下。单位向量的 magnitude 为 1。

单位向量经常也被称为法线 （Normal），但这么做需要有一个前提：法线是垂直于某某的单位向量。比如 surface normal 就是垂直于当前表面的法线。需要注意的是，这里的 Normal 指代垂直，而不是单位长度。所以：

• Normalized Vector：单位向量
• Normal：单位向量，并垂直于某物

任意非零的单位向量等于该向量除以其 magnitude： 该计算过程也被称为向量的标准化。

零向量是不能被标准化的。

单位向量的 tail 为原点。在 2D 中单位向量的 head 会达到单位圆，3D 中会达到单位球。

如果将向量视作两点的之间的有向连线，那么两点之间的距离就等同于向量的长度。以 3D 为例，两点之间的位移向量可以使用三角形法则得到： 将其带入到向量长度的公式中，则有： 2D 同理。

点乘（Dot Product）是两种向量乘法的一种。点乘将两个向量对应的分量乘在一起，然后把所有的结果累加，最终得到的是一个标量： 也可以用累积和的方式描述： $$a \cdot b = \sum_{i=1}^{n}a_{i}b_{i}$$

第一种几何解释将点乘试做一个向量在另外一个向量方向上的投影（Projection）。假设 $\hat a$ 为单位向量，$b$为任意长度的向量，则 $\hat a \cdot b$ 的几何结果如下图： 那么实际上，$\hat a \cdot b$ 的结果就可以被定义为 $b$ 在 $\hat a$ 方向上投影的长度。需要注意的是，这里得到的长度是有正负的。当 $b$ 与 $\hat a$ 的方向相反的时候，很显然得到的投影方向也是与 $\hat a$ 相反的。实际上，会出现三种情况：

• $\hat a$ 与 $b$ 方向相同，点乘结果为正
• $\hat a$ 与 $b$ 方向垂直，点乘结果为 0
• $\hat a$ 与 $b$ 方向相反，点乘结果为负

那么很容易推论出，两个向量的点乘结果，实际上在说明这两个向量在方向上的相关性。

同时，根据点乘的公式，对 $\hat a$ 或者 $b$ 进行缩放（乘以标量），对投影只会产生相同的缩放效果： 代数上可以表现为： $$(ka)\cdot b = k(a \cdot b) = a \cdot (kb)$$ 因此点乘可以定义为：

The dot product $a \cdot b$ is equal to the signed length of the projection of $b$ onto any line parallel to $a$, mulitiplied by the length of $a$.

• 点乘遵循交换律（Communitive）：$a\cdot b = b \cdot a$
• 点乘遵循分配律（Distributes）：$a \cdot (b+c) = a \cdot b + a \cdot c$

两个性质都可以通过点乘的代数定义证明。

几何意义上：

对于交换律，$\hat a$ 投影到 $\hat b$ 上与 $\hat b$ 投影到 $\hat a$ 上的向量长度是一致的，因此无论是 $a$ 投影还是 $b$ 投影，本质上都是在对投影的结果做缩放，不影响投影的最终结果。

对于结合律，$b+c$ 可以看做 $b$ 和 $c$ 两个向量的和，而根据下图，$b+c$ 向量的投影长度正好等于向量 $b$ 和 $c$ 投影长度的和：

来看一种特殊情况。假设坐标轴（Cardinal axis）是被投影的对象。举个例子: $\hat x \cdot b$ 。可以发现的是，该点乘的结果实际上就是 $b$ 在 x 轴上的分量的长度： 可以看出来的是，点乘结果的方向始终是被投影的向量一致的。而当参与点乘的两个向量方向一致的时候，也就是向量求自身在自身上的投影的时候，我们得到的结果实际上是向量本身的 magnitude，即：$$v \cdot v = ||v||$$

假设有单位向量 $\hat a$，任意长度的向量 $b$，用 perp 表示 $b$ 在竖直上的分量，para 表示 $b$ 在水平上的分量。根据前面提到的推论，则有： $$b_{para} = \hat a \cdot b = (\hat a \cdot b) \cdot \hat a$$ 根据三角形法则： $$b_{perp} = b - b_{para} = b-(\hat a \cdot b) \cdot \hat a$$

假设有单位向量 $\hat a$ 与 $\hat b$，且夹角为 $\theta$，根据点乘的投影解释，可以构造出一个三角形如下图： 可以得出 $$cos\theta = \frac{adjacent}{hypotenuse} = \frac{\hat a \cdot \hat b}{1} = \hat a \cdot \hat b$$ 也就是说，两个单位向量的点乘结果等于这两个向量之间夹角的余弦值。

现在假设 $a$ 的长度为 a, $b$ 的长度为 b，那么上面的等式可以写成： $$cos\theta = \frac{a \cdot b}{||a||||b||}$$ 因此点乘从角度观点的几何解释可以归纳为：

The dot product of two vectors $a$ and $b$ is equal to the cosine of the angle $\theta$ between the vectors, multiplied by the lengths of the vectors. Stated formally,$$a \cdot b = ||a||||b||cos\theta$$

这种解释下的点乘有几个功能：
首先，可以使用该解释来求出两个向量直接的夹角：$$\theta = arccos(\frac{a \cdot b}{||a||||b||})$$如果不考虑 magnitude，可以直接使用单位向量求该夹角：$$\theta = arccos(\hat a \cdot \hat b)$$ 其次，$\theta$ 的值可以用于判断当前两个向量方向的关系：

Cross Product（叉乘&内积）记作 $a \times b$。3D 叉乘的代数公式如下： 几个重要的代数性质：

• 普通列表项目cross product 遵循与 dot product 同样的运算优先级。但在混合点乘与叉乘的计算中，优先计算叉乘，比如 $a\cdot b \times c = a \cdot (b \times c)$ 。
• cross product 不遵循 commutative，遵循 anticommutative，即 $a\times b = - b \times a$
• cross product 也不遵循 associative，比如 $(a\times b)\times c \neq a \times (b \times c)$

Cross product 结果会产生一个新的向量，该向量与参与叉乘的两个向量分别垂直： 新向量的 magnitude 按如下公式计算： $$||a \times b||=||a||||b||sin\theta$$ 有意思的是，该结果正好等于 a、b 按平行四边形法则形成的四边形的面积： 假设 b 为底，那么 高 $h=||a||sin\theta$，面积的计算结果为 $||b||\cdot||a||sin\theta$，与之前的叉乘的结果正好符合。

当 a、b 平行的时候，$sin\theta = sin(0) = 0$，因此两个平行向量的叉乘结果为一个零向量。几何上来说，因为零向量垂直于任意向量，因此可以解释该代数计算结果。

叉乘结果的方向根据坐标系的不同会有不同的计算方式。一般的方法是将参与运算的第二向量的尾部至于第一向量的头部，通过该方式来判断第一向量的旋转方向。在左手坐标系中：

• 如果是顺时针方向，叉乘结果指向我们自己
• 如果是逆时针方向，叉乘结果指向屏幕里边

右手坐标系的结果与上述的结果完全相反。 如果指定 $\vec{x},\vec{y},\vec{z}$ 为与坐标轴方向相同的单位向量，那么无论什么坐标系都适用于以下规则：

• 向量范数与矩阵范数