Integration theory

MITx: 18.01.2x Calculus 1B notes

在生活中，我们常常需要求一些不规则的面积。找出这些面积的公式通常是不可能的；因此我们往往采用近似的方法来进行估算。一种方法是将该不规则的面积用一个个的矩形来填充；矩形的宽度越小，估算的结果越精确。当这些矩形的宽度无限趋近于 $0$ 时，就可以认为这些矩形面积的和便是该不规则形状的面积。

现在我们把不规则形状的边想象成函数的曲线，因此该形状的面积则可表示为函数曲线下的面积；我们将该面积称为定积分（Definite Integral）。假设定积分对应曲线 $f(x)$ 的定义域为 $[a,b]$，那么定积分可以记做：

$$ \displaystyle \int _ a^ b f(x)\, dx$$

$a,b$ 分别被称为该积分的下极限（Lower Limits）与上极限（Upper Limits）。

从几何上，上述定积分表示如下蓝色区域的面积：

而从代数的角度来看，定积分可以表示为黎曼和（Riemann Sum），也就是说，面积由很多和组成；每一个和都是由子区间长度与所在位置的函数值的乘积。

当 $f(x)$ 为常数的时候，定积分的面积表现为一个矩形：

$$\displaystyle \int _{-1}^4 2 \, dx\, =\, \text {Area }\, A_2\, \text {of the shaded rectangle} \, =\, 2\cdot \left(4-(-1)\right)\, =\, 10$$

$y=x$ 在 $[0,b]$ 上的定积分是一个等腰直角三角形：

$$\text{For any} \, b>0, \displaystyle \int _0^ b x \, dx \, =\, \text{Area of the shaded triangle} \, =\, \frac{1}{2} b^2$$

此类定积分一般以 $0$ 为基准算出两个定积分，在进行相减。比如 $y=x$ 在 $[0,b]$ 上的定积分，是一个梯形，由两个三角形相减得到：


\begin{align} \displaystyle \text {Area of trapezoid} & = \displaystyle \text {Area of big triangle}\, - \, \text {Area of small triangle}\\ &\displaystyle \Rightarrow\displaystyle \int _2^ b x \, dx\, =\displaystyle \int _0^ b x \, dx - \int _0^2 x \, dx\\ &=\displaystyle \frac{1}{2} b^2-\frac{1}{2} 2^2\\ &=\displaystyle \frac{1}{2} b^2-2 \end{align}

同函数上的两个定义域如果相连（即 $[a,b], [b,c]$），那么可得：

$$\displaystyle \large{ \int_a^b f(x) \, dx \,+ \, \int_b^c f(x) \, dx \quad =} \displaystyle \large{ \int_a^c f(x)\, dx } $$

也就是 $[a,c]$ 的定积分等于 $[a,b]$ 与 $[b,c]$ 上的定积分之和：

当定积分的 $f(x)$ 为偶函数时，其函数图像之于 $y$ 轴对称。此时，在 $-x$ 轴与 $+x$ 轴上的定积分面积相等，即：


$$\displaystyle \int _{-b}^0 f(x) \, dx \, =\, \int _0^ b f(x) \, dx.$$ 也就是对于任意的 $b>0$，有： $$\displaystyle \int _{0}^ b f(x) \, dx \, =\, \frac{1}{2} \int _{-b}^ b f(x) \, dx\,$$

定积分的求解可以分为三个步骤：

1. 将整个面积分为 $n$ 份
2. 将所有矩形的面积加到一起
3. 通过取极限的方式确定矩形的面积和

例A：求 $\displaystyle \int _0^b x^2 \, dx$ 的结果。

首先，我们将 $[0,b]$ 划分为 $n$ 份，那么对于每个矩形来说，其底就是 $\displaystyle \frac{b}{n}$。

接下来，按照 $y=x^2$计算高。因为矩形的高是其所在坐标的 $y$ 值，因此，这些矩形的高可以记做：

$$ \left( \frac{b}{n} \right)^2,\left( \frac{2b}{n} \right)^2......\left( \frac{nb}{n} \right)^2 $$

因此，所有矩形的和可以记做：

\begin{align} Sum &= \frac{b}{n} \cdot \left( \left( \frac{b}{n} \right)^2 + \left( \frac{2b}{n} \right)^2...... + \left( \frac{nb}{n} \right)^2 \right)\\\\ &= \left( \frac{b}{n} \right)^3 \cdot \left(1^2+2^2......+n^2 \right) \end{align}

接下来，我们对这个和进行计算。对于该式子中乘积的右边部分，我们可以将其想象成以边长为 $n$ 的正方形为底的单位长方体逐渐累加称的一个金字塔，记做 $Sum'$：



直接计算 $Sum'$ 是比较麻烦的；但假设我们按红色边框的范围抛去多余的矩形部分，那我们可以按棱锥的体积公式求出红色部分的体积，即底边长 $n$，高度为 $n$ 的棱锥体积：
$$ V_1 = \frac{1}{3}n^3 $$
接下来再按蓝色边框的范围，计算另外一个棱锥的体积：
$$ V_2 = \frac{1}{3}(n+1)^3 $$
很显然，我们要计算的和与上述两个体积有如下关系：
$$ \frac{1}{3}n^3 \leq Sum' \leq \frac{1}{3}(n+1)^3 $$
将其代入原来 $Sum$ 的公式，可得：
$$ \frac{1}{3}b^3\cdot\left(\frac{n^3}{n^3}\right) \leq Sum \leq \frac{1}{3}b^3\cdot\left( \frac{(n+1)^3}{n^3} \right) $$
假设 $n \to +\infty$，显然 不等式两边都趋近于 $\frac{1}{3}b^3$。因此：
$$ \displaystyle \int _0^b x^2 \, dx = \frac{1}{3}b^3 $$

前一个例子中和的表达式太长，使用起来不是很方便。为此，数学家们引进了一个和记号（Summation notation），记做 $\displaystyle \Sigma$，来表示该表达式的和。一个简单的例子如下：

$$ \displaystyle \sum _{i=1}^ n a_ i = a_1+a_2+\cdots +a_{n-1}+a_{n} $$
其中各个部分代表的意义如下图：

按照之前定积分的定义，假设我们将定积分 $\displaystyle \int _ a^ b f(x) \, dx$ 表示的面积分为 $n$ 个底（Base），那么每个底的区间长度则是：
$$ \displaystyle \Delta x= \frac{b-a}{n} $$

接下来我们在第 $i$ 个底的区间内取一点 $c_i$，那么很显然，$ci$ 所处的矩形的面积就应表示为：

$$A_i = f(c_i) \cdot \Delta x$$


根据上述推导，那么定积分所表示面积可以表示为：

\begin{align} A &= A_1+A_2+....A_n\\\\ &=\underbrace{f(c_1)}_\text {height}\, \underbrace{\Delta x}_\text {base} +\underbrace{f(c_2)}_\text {height} \, \underbrace{\Delta x}_\text {base}+\cdots + \underbrace{f(c_ n)}_\text {height} \underbrace{\Delta x}_\text {base} \\\\ &=\ \sum _{i=1}^{n} f(c_ i) \Delta x \end{align}

现在我们将该将该面积无穷细分，也就是令 $n \to +\infty$，那么有：

$$ \lim _{n\rightarrow \infty }\, \sum _{i=1}^{n} \, f(c_ i) \Delta x\ =\ \int _ a^ b f(x) \, dx $$

上面的公式被称为定积分的定义公式。我们把 $\sum _{i=1}^{n} f(c_ i) \Delta x$ 这个和式称为黎曼和（Riemann Sum）。如果我们选取的 $ci$ 处于底区间的左边末端，那么这个和称为左黎曼和；如果处于右边末端，那么这个和称为右黎曼和。

如下的性质都适用于黎曼和与定积分：

• $\displaystyle \sum_{k=1}^{n}a_k= \sum_{k=1}^{m}a_k+\sum_{k=m+1}^{n}a_k, \,\text{where 1<m<n}$
• $\displaystyle \sum_{k=1}^{n}(a_k+b_k)=\sum_{k=1}^{n}a_k+\sum_{k=1}^{n}b_k$
• $\displaystyle \sum_{k=1}^{n}c\cdot a_k= c \cdot \sum_{k=1}^{n}a_k\, \text{, c is a constant}$

当 $n \to \infty$，也就是无限细分的情况下，左黎曼和与右黎曼和的极限相等，因此可得：

• $\displaystyle \displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty } \sum _{i=1}^{n} \frac{f(x_{i-1})+ g(x_{i-1} )}{n} = \displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }\sum _{i=1}^{n} \frac{f(x_{i-1} )}{n}+ \lim _{n\rightarrow \infty } \sum _{i=1}^{n} \frac{g(x_{i} )}{n}$

根据黎曼和的定义，将某些求和的通项表示为 细分$\Delta x$ 与 对应函数值 $f(x)$ 的乘积可以有效的将求和的极限转化定积分的形式。该转化通常分为三步：

• 将求和的通项表示为 $f(x)*\Delta x$ 的形式。$\Delta x$ 需要与黎曼和的增量无关。
• 确定 $f(x)$ 的表达式
• 将表达式中的内容带入到 $f(x)$ 中，确定 $f(x)$ 的 upper / lower limit，最终转化为定积分的形式

比如下面的例子：
$$\lim _{n\rightarrow \infty } \sum _{i=1}^{n} \frac{2}{n} \left(-1+\frac{2i}{n}\right)^3$$
首先观察到 $\frac{2}{n}$ 是标准的细分格式，而且不受增量 $i$ 的影响，因此通项可以拆分为：
$${\color{orange}{\frac{2}{n}}} {\color{blue}{\left(-1+\frac{2i}{n}\right)^3}} = {\color{orange}{\Delta x}} {\color{blue}{ f(x)}}$$
接下来再看 $f(x)$。令 $\left(-1+\frac{2i}{n}\right) = x$ ，则 $f(x) = x^3$。之后只需要确定 $x$ 的范围即可。根据题目，$i$ 的范围是 $[1,n]$；取 $i$ 值为 $1$ 和 $n$ 进行讨论：

• $i=1$ 时，$\displaystyle \lim_{n \to \infty}( -1+\frac{2i}{n})= \lim_{n \to \infty}( -1+\frac{2}{n})=-1$
• $i=n$ 时，$\displaystyle \lim_{n \to \infty}( -1+\frac{2i}{n})= \lim_{n \to \infty}( -1+\frac{2*n}{n})=1$

因此可知该定积分的范围是 $[-1,1]$，因此题目中的极限就可以表示如下的定积分： $$\int_{-1}^1x^3dx $$

例B：求解 $\displaystyle \lim _{k \rightarrow \infty } \sum _{n=1}^{k} \frac{1}{k} \frac{n^2+3nk+9k^2 \sin (n/k)}{k^2}$
\begin{align} \displaystyle \lim _{k \rightarrow \infty } \sum _{n=1}^{k} \frac{1}{k} \frac{n^2+3nk+9k^2 \sin (n/k)}{k^2}\\\\ =\displaystyle \lim _{k \rightarrow \infty } \sum _{n=1}^{k} \frac{1}{k} \cdot \left(\frac{n^2}{k^2}+\frac{3n}{k}+9sin(\frac{n}{k})\right) \end{align}

令 $\displaystyle \frac{n}{k} = x$，则 $f(x) = x^2+3x+9sin(x)$。

令 $n=1$，当 $k \to \infty$ 时，$\displaystyle \lim _{ k \to \infty } \frac{n}{k} = 0$;

令 $n=k$，当 $k \to \infty$ 时，，$\displaystyle \lim _{k \to \infty} \frac{n}{k} = 1$;

因此可得：

$$\displaystyle \lim _{k \rightarrow \infty } \sum _{n=1}^{k} \frac{1}{k} \cdot \left(\frac{n^2}{k^2}+\frac{3n}{k}+9sin(\frac{n}{k})\right) = \displaystyle \int _{0}^{1} \left(x^2+3x+9\sin (x)\right)\, dx$$

为了更好的求解此类的为题，我们可以将黎曼和可以转化为如下的特殊形式：

$$ \int_0^1f(x)dx $$

如何转换？

首先将 $[a,b]$ 区间的长度视作长度 $1$（理解为 100%）。根据 $\Delta x$ 的定义，有：

• 因为对 $1$ 进行分割，因此小矩形的底区间长度为 $\displaystyle \Delta x = \frac{1}{n}$。
• 每一份为 $\displaystyle \frac{1}{n}$，那么点 $c_i$ 的 $x$ 坐标应为 $\displaystyle \frac{i}{n}$。

将黎曼和转写为如下的形式，即可转化为此类定积分：

$$ \lim _{n\rightarrow \infty }\, \sum _{i=1}^{n} \, f(\underbrace{\frac{i}{n}} _{c_i}) \cdot \underbrace{\frac{1}{n}}_{\Delta x} =\ \int _ 0^ 1 f(x) \, dx $$

此处的 $x$ 被设为 $\frac{i}{n}$，由于 $i$ 的范围是 $[1,n]$，因此该定积分的区间永远是 $[0,1]$。

在实际的应用中，定积分不单单表示指定区间内曲线下的面积，同时可以表示其他各种可以用累积形式表示的总量。我们把这样的形式称为累积和（Cumulative sums）。

例C.1：设 $t$ 为借钱的总时间，单位为 $year$，$f(t)$ 是 $t$ 时间内产生的利率总量，单位为 $dollar/year$。那么一年的利率表达式应该为多少？

假设借钱的间隔以天为单位，可知：
$$\Delta t = \frac{1}{365}$$
令 $i$ 为第 $i$ 天，那么第 $i$ 天借钱的利率总量则可以表示为：
$$f(\frac{i}{365}) \cdot (\frac{1}{365})$$
因此，一年内借的钱可以表示为如下的黎曼和： $$ \sum _{i=1}^{365} \, f(\frac{i}{365}) \cdot \frac{1}{365} \rightarrow \int_0^1f(t)dt $$

例C：现有一个圆柱体容器，深度为 $D$，半径为 $R$，内部装满了水。现在我们在该容器的正中心释放融水消毒剂。经过几个小时的均匀释放，在半径为 $r$ 时候，测得消毒剂浓度为 $\displaystyle \frac{k}{1+r^2} \, g/m^3$。求消毒剂释放的总量。

解析：首先我们可以得知，总量等于浓度乘上拥有消毒液的水的体积；因此此题实际上是在求经过一段时间消毒剂扩散到了多少体积的水里。由于扩散是均匀释放，因此我们可以将扩散的过程想象为一圈一圈的往外扩散，如下图：



假设图中橙色部分是在半径为 $r_i$ 时拥有消毒剂的水体体积，而整个灰色部分是半径为 $r_{i+1} $ 时拥有消毒剂的水体体积，那么含有消毒剂的水体体积的增量就可以看做成一个空心圆柱体的“壳”。而这个“壳”其实是可以如下图一样展开的：



这个“壳”看起来像个长方体，但实际上不是，因为壳的内圈与壳的外圈的周长是不一样的。但在此处，我们可以用长方体的体积公式来表示这个壳的体积。

试想一下，从 $r_i$ 到 $r_{i+1}$，半径的增量为 $\Delta x$。假设我们将消毒剂的扩散的步骤无限细分，也就是 $\Delta x \to 0$，那么很显然，壳的增量就可以被视作一个长方体了。因此，我们可以认为壳的增量：

$$ \Delta V =2 \pi r_i \cdot \Delta x \cdot D $$

那么在每一次壳的增加过程中，新释放的消毒剂数量应为：

$$\Delta A = \Delta V \cdot k\frac{r_i}{1+r_i^2} = 2 \pi D \cdot k\frac{r_i}{1+r_i^2} \cdot \Delta x$$

因此，整个消毒剂的释放量，可以被视为所有新释放的消毒剂数量的累积和。考虑到无穷细分的情况，则该累积和是 $n \to \infty$ 的极限。又因 $r_i$ 属于 $[0,R]$,因此该极限可以转换为如下定积分：

$$ A = \lim _{n \to \infty}\sum _{i=1}^n 2 \pi D \cdot k\frac{r_i}{1+r_i^2} \Delta x = 2 \pi Dk \int_0^R\frac{r}{1+r^2}dr $$

综合黎曼和、放缩法、夹逼定理，我们可以对定积分进行求值。但这样的方法较为复杂。能否可以采用不定积分的解积分手段来计算定积分？

由于定积分与不定积分是两种不同的概念，我们必须要引入特殊的定理来构建两者之间的桥梁。而需要被引入的定理，称之为微积分第一基本定理（The First Fundamental Theorem of Calculus），简称 FTC1。

FTC1 的定义如下：

If $F$ is differentiable, and $F′=f$ is continuous, then:
$$\displaystyle \displaystyle \int _ a^ b f(x) \, dx = F(b) - F(a)$$
In other words, the definite integral of a function is the difference between the values of its antiderivative at the limits of the definite integral.

为了简便结果，我们有如下的简写方式：

$$ \displaystyle \displaystyle \left.\phantom{\int }F(x)\, \right|_ a^ b = F(b) - F(a) $$

通过 FTC1，我们知道定积分的结果可以表示为差。既然是差，那么这个数可以为正，也可以为负。为正的时候，定积分可以解释为曲线下区间内的面积。如果为负呢？

为了解释这个问题，我们先来看一个例子。

假设我们从家中开车到边境，距离是 $125km$。我们花了 $2$小时开车到边境，发现忘了带护照，因此又即刻返程，总共花了 $4$ 小时时间。设速度的函数为 $v(t)$，位移的函数图为 $x(t)$，具体信息参考如下两图：

我们来考虑一下：$\displaystyle \int _{0}^{4} v(t)\, dt$ 到底意味着什么。

我们知道，速度是位移的导数。因此，$v(t)$ 对应的原函数应该是 $x(t)$。根据 FTC1，可得：

• $\displaystyle \int _{0}^{2} v(t)\, dt = x(2) - x(0) = 125$
• $\displaystyle \int _{0}^{2} v(t)\, dt = x(4) - x(2) = -125$
• $\displaystyle \int _{0}^{4} v(t)\, dt = x(4) - x(0) = 0$

可以看出来的是，最终的结果就是前两个定积分的和。考虑到位移是有正负的，而在区间 $[2,4]$ 上的位移是负的，我们可以大胆的推断，在 $x$ 轴以下的定积分值，依然代表着面积，但其符号是负的。

不难推断，如果将面积视为绝对值，那么定积分的通用几何解释，就是 $x$ 轴以上的面积减去 $x$ 轴以下面积得到的最终结果（带符号）。换句话说，定积分是函数与 $x$ 轴形成的带符号的面积，其中 $x$ 轴以上为正，$x$ 轴一下为负。

定积分的本质也可以看做是元素有正有负的累积和。


即： $$ \displaystyle \int _{a}^{b} f(x) \, dx\, =\, \lim _{n\rightarrow \infty }\, \sum _{i=1}^{n} \, f(c_ i) \Delta x\qquad (\text {for any continuous}\, \, \, f(x)). $$

综上，FTC1 可以推广到 $f$ 为任意连续函数的形式，即：

for any continuous function $f$ ,
$$\displaystyle \displaystyle \int _ a^ b f(x) \, dx =\displaystyle F(b)-F(a),\qquad \text {where}\, \, F'(x)=f(x).$$

根据 FTC1 我们可以得到一些相关的定积分性质：

$$\int _{a}^{b} \left( f(x) +g(x) \right) \, dx \, =\, \int _{a}^{b} f(x)\, dx +\int _{a}^{b} g(x) \, dx$$

$$ \int _{a}^{b} c \, f(x) \, dx \, =\, c\, \int _{a}^{b} f(x)\, dx\qquad \text {for any constant}\, c $$

$$\int _{a}^{a} \, f(x) \, dx\, =\, 0$$

$$\int _{b}^{a} \, f(x) \, dx\, =\, - \int _{a}^{b} \, f(x) \, dx\qquad \text {for any}\, a,b$$

$$ \int _{a}^{c} \, f(x) \, dx\, =\, \int _{a}^{b} \, f(x) \, dx\, +\, \int _{b}^{c} \, f(x) \, dx\qquad \text {for any}\, a,b,c $$

定积分有如下性质： If $f(x)≤g(x)$, and $a≤b$,then: $$\displaystyle \int _{a}^{b} f(x)\, dx\, \, \, \leq \, \, \, \int _{a}^{b} g(x)\, dx \qquad (\text {for}\, \, a\leq b).$$ 但当 $b≤a$ 的时候，这个结论要反过来了： $$\displaystyle \int _{a}^{b} f(x)\, dx\, \geq \, \int _{a}^{b} g(x)\, dx \qquad (b\leq a).$$

我们熟知换元法在不定积分中的应用。但在定积分里，换元会带来一个问题：新变量相较于原变量的取值范围的改变。而为了处理这个问题，我们必须要注意两点：

• 换元以后，需要计算出新变量的取值范围
• 换元以后，必须要注意新变量的取值范围是否导致原变量的取值范围的衰减

先来看一个例子：求解 $\displaystyle \int _1^2 (x^3+2)^5x^2 dx$。

按照以前对不定积分的换元解法，令 $u = x^3+2$，那么有 $\displaystyle \frac{du}{3} = x^2dx$。因此，原式的不定积分可以替换为：
$$ \displaystyle \frac{1}{3}\int u^5du $$
到目前为止都使用了不定积分的技巧，没有问题。但此时需要注意的是，此时积分中参与运算的的变量，已经不再是 $x$，而是 $u$。如果我们希望以 $u$ 为变量，使用 FTC1 来计算该定积分，那么必须计算出基于 $u$ 的定积分的上下极限在哪里。

之前通过 $x$ 确定的上下极限范围为 $[1,2]$。将其代入我们的换元公式 $u = x^3+2$，则 $u$ 确定的范围为：$[1^3+2, 2^3+2]$，即 $[3,10]$。因此，该定积分最终的结果为：
$$ \displaystyle \frac{1}{3}\int _3^{10} u^5du = \frac{1}{18} u^6 \bigg| _3^{10} $$
正式的定义如下：

if
$$\displaystyle \int _{a}^{b} f(x)\, dx = \int _{a}^{b} g(u(x)) u'(x) \, dx,$$
and $u'$ does not change sign between $a$ and $b$ , then
$$\displaystyle \int _{a}^{b} f(x)\, dx = \int _{a}^{b} g(u(x)) u'(x) \, dx = \int _{u(a)}^{u(b)} g(u) \, du.$$
That is, the limits of the integral over $u$ are the values of $u$ corresponding to the limits of the integral over $x$ .

$u'$ 导致异号的情况请参考下一章。

在换元的过程中，换元以后，如果出现了$u'$ 或异号的情况，那么一定要注意。因为异号往往会导致新的变量不能完整的反映原有的变量，比如 $\displaystyle \int _{-1}^{1} x^2 \, dx$。按照原来的解法，令 $u=x^2$，那么 $du=2x\, dx$，因此有：
$$ \displaystyle \int _{-1}^{1} x^2 \, dx = \int _{u=(-1)^2}^{u=1^2} u \cdot \frac{du}{2 \sqrt{u}} = \int _{1}^{1} u \cdot \frac{du}{2\sqrt {u}}=0 $$
这个结果显然是错的，$x^2$ 的图像在 $[-1,1]$ 上显然不为 $0$。那么是什么导致了这个错误呢？

原因是因为在换元的时候，$u'$ 在 $x = 0$ 处发生了符号的变化。根据之前的换元，可得： $$ dx = \frac{1}{2x}du $$ 但如果此时将下面的 $x$ 也用 $u$ 表达，则会出现错误： $$ dx = \frac{1}{2 \sqrt{u}} du $$ 这里默认了从 $u=x^2$ 可以推导出 $u = \sqrt{x}$，而这个推导只能在 $x \geq 0$ 的时候成立。而本例中，因为从 $x^2$ 映射到了 $u$，因此根据 $x$ 的正负，在不同的定义域上，$x$ 是有不同的表达式的：

$$ \displaystyle x\, \, = \, \, \begin{cases} \displaystyle +\sqrt {u} & \mbox{if } x \geq 0 \\ -\sqrt {u} & \mbox{if } x\leq 0. \end{cases} $$

这说明 $x$ 在 $[-1,1]$ 上不具有单调性。如果 $x$ 不具有单调性，那么其反函数也不存在，因此不能通过 $x$ 与 $u$ 的关系来反向推导 $x$。

正确的做法是，如果 $u'$ 发生了变号，那么我们需要以 $u'$ 改变符号的位置为界限，对定积分进行分段求解，再通过其性质对其相加，得到最终结果。

那么本例中，因为 $u'=2x$ 在 $0$ 处发生了符号变化：
$$ \begin{cases} u'=2x>0,\, \text{when x>0}\\ u'=2x<0, \, \text{when x<0} \end{cases} \\ $$ 因此原有的定积分需要表示为：

$$ \displaystyle \displaystyle \int _{-1}^{1} x^2 \, dx =\displaystyle \int _{-1}^{0} x^2 \, dx + \int _{0}^{1} x^2 \, dx. $$

然后分别对这两个积分求值，最后的和才是我们需要求的结果。

由前面得知，FTC1 与 MVT 的前提条件是一致的，即 $F(x)$ 在 $[a,b]$ 是可微的，且 $F'(x)$ 在 $[a,b]$ 上是连续的。令：$\Delta F = F(b)-F(a)$，$\Delta x = b-a$，那么根据 MVT，有：

$$ \displaystyle \displaystyle \frac{\Delta F}{\Delta x} = \displaystyle F'(c) \qquad \text {for some}\, c,\, \, a<c<b. $$

因为 $c$ 的位置是未知的，因此不能通过 MVT 计算出 $\displaystyle \displaystyle \frac{\Delta F}{\Delta x}$。

而对于 FTC1，则有：

$$ \displaystyle \displaystyle \frac{\Delta F}{\Delta x} = \displaystyle \frac{1}{b-a} \int _ a^ b F'(x) \, dx. $$

可以看出来 FTC1 是可以求得 $\displaystyle \displaystyle \frac{\Delta F}{\Delta x}$ 的值的。

假设我们有如下形式的定积分： $$\displaystyle \int _{a}^{b} m\, dt$$
在这个定积分中，如果我们将该定积分的 upper limit 从 $b$ 改为了变量 $x$；我们会的得到基于 $x$ 的函数，我们令其为 $F(x)$：
$$F(x) = \displaystyle \int _{a}^{x} mdt$$
首先来看看这个函数意味着什么：按照定积分的定义，$F(x)$ 可以表示为一个长为 $x$，宽为 $m$ 的面积，即 $m(x-a)$：



从几何直觉上来说，$x$ 就像是在 $x$ 轴上的一个滑动块一样，而整个定积分代表的面积随着 $x$ 的滑动而变化。这个变化关系，就是 $F(x)$。那这里又有了新的问题：怎么去求 $F(x)$ 呢？

由定积分的定义可以想到，要求 $F(x)$，需要知道 $F(x)$ 在指定范围内的导数图像 $F'(x)$；而上面这个特殊例子中，$F(x)$ 等于长为 $(x-a)$，宽为 $m$ 的矩形面积，那么可得：
$$ F(x)=m(x-a) $$
因此，$F(x)$ 的图像是过 $x=a$ 的一条直线。因此进而我们可以得到：
$$F'(x) = m$$
再来看一下原先的定积分：如果将 $F(x)$ 写作 $\displaystyle \int _{a}^{x} f(t) \, dt$ 的形式，可以发现，$F'(x) = f(t)$。

上述的规律在微积分中被称为微积分第二基本定理（The Second Fundamental Theorem of Calculus）。通过上面的例子，该定理说明了一个事实：如果一个连续函数在某个区间上有原函数，那么这个原函数在这个区间内的导函数就是这个连续函数本身。正式定义如下：

Given a continuous function $f(x)$.

$$\displaystyle G(x)=\int _{a}^{x} f(t)\, dt \qquad (\, \, t\, \, \text {between}\, \, a\, \, \text {and}\, x),$$
then
$$G'(x)=f(x)$$.

从微分方程的角度来讲，我们可以将方程 $G$ 作为如下微分方程的解：

$$ \begin{split} &y'=f \displaystyle \,\,\, (\text {differential equation}).\\\\ &y(a) = 0 \,\,\,\displaystyle (\text {initial condition}). \end{split} $$

求 $\displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x} \int_1^x \frac{\mathrm{d} t}{t^2} $：

这个例子并无需计算，但需要明白整个表达式的意义：

1. 首先看 $\int_1^x \frac{\mathrm{d} t}{t^2}$，该表达式实际上是微分第二定理中的内容。如果令 $G(x) = \int_1^x \frac{\mathrm{d} t}{t^2} $，那么 $G(x)$ 在 $[1,x]$ 上的导数与 $f(t)$ 重合，即 $G'(x)=f(x) = f(t)|_{t=x} = \frac{1}{x^2}$
2. 接下来，外面的的微分则是以 $x$ 作为细分的基准求 $G(x)$ 在 $[1,x]$ 上的导函数 $G'(x)$，因此结果为 $ \frac{1}{x^2}$。

在使用 FTC2 时，标准的形式是 $\displaystyle \frac{d}{dx} \int _{0}^{x}f(t)dt$ 这样的。但有时候我们会遇到变量 $x$ 是一个函数，即： $$\displaystyle \displaystyle \frac{d}{dx}\int _{a}^{u(x)} f(t)\, dt \,\,\,\text{(7.1.1)}$$
对于这样的式子，我们需要对其应用 Chain rule。我们可以尝试推导一下 Chain rule 的公式：

首先，我们令 $\displaystyle =\int _{a}^{u} f(t)\, dt$，那么很显然有：
$$G(u(x)) = \displaystyle \int _{a}^{u(x)} f(t)\, dt \,\,\,\text{(7.1.2)}$$
将式子 7.1.2 带入到 7.1.1 中，则有：
$$\displaystyle \frac{d}{dx} G(u(x)) = G'(u(x)) \cdot u'(x)$$
根据 FTC2，有：
$$G'(u) = f(u)$$
\\因此$\displaystyle G'(u(x)) \cdot u'(x)\qquad (\text {chain rule})$ 的结果可以用 $f(x)$ 表示： $$\displaystyle \frac{d}{dx}G(u(x)) = \displaystyle f(u(x)) \cdot u'(x)$$
即：

$$\displaystyle \frac{d}{dx} \int _{a}^{u(x)} f(t)\, dt = f(u(x)) \cdot u'(x)$$

通过前面我们可以得知 FTC2 实际上反映的是这么一个关系： $$ \displaystyle \frac{d}{dx}\int _{a}^{x} f(t) \, dt = f(x) \,\,\, \text{for any continuous function f} $$
即：如果令 $\displaystyle F(x) = \int_a^b f(t)dt$，那么就有 $\displaystyle F'(x)=f(x)$。

我们可以通过定积分的几何意义来证明这个等式，从而证明 FTC2。



根据上图，我们可知：

\begin{align} &\displaystyle F(x) = \displaystyle \int _{a}^{x} f(t)\, dt\, \, = \displaystyle \text {Area between}\, \, a\, \, \text {and}\, \, x, \\\\ &\displaystyle \Delta F = \displaystyle \int _{x}^{x+\Delta x} f(t)\, dt\, \, = \displaystyle \text {Area between}\, \, x\, \, \text {and}\, \, x+\Delta x. \end{align}

我们可以将 $\Delta F$ 的面积近似为一个矩形的面积，其高为 $f(x)$，宽为 $\Delta x$。因此有：

$$ \displaystyle \displaystyle \frac{\Delta F}{\Delta x} \approx \displaystyle \frac{f(x)\cdot \Delta x}{\Delta x} = \displaystyle f(x) $$
因为 $f$ 是连续的，所以可得：
$$F'(x) = \displaystyle \displaystyle \lim _{\Delta x\rightarrow 0} \frac{\Delta F}{\Delta x} = \displaystyle \lim _{\Delta x\rightarrow 0} f(x) = \displaystyle f(x)$$
同理可证明当 $f<0$ 的情况。

FTC1 可以通过 FTC2 来证明。

假设 $F$ 可导，$F'(x)$ 连续且 $F'(x) = f(x)。

令 $\displaystyle G(x) = \int_a^b f(t)dt$, 根据 FTC2，同样有 $G'(x) = f(x)$。此处 $F(x)$ 与 $G(x)$ 同为 $f$ 的积分，因此根据 MVT，我们可以得到如下结论：

$$ \displaystyle F'(x)\, =\, G'(x) \displaystyle \Rightarrow \displaystyle F(x)\, =\, G(x)+C $$
接下来我们将 $G'(x)$ 代入到 $F(b)-F(a)$ 的运算中，则有：

\begin{align} F(b)-F(a) &=(G(b)+C)-(G(a)+C)\\\\ &=\displaystyle \int _{a}^{b} f(t)\, dt- \int _{a}^{a} f(t)\, dt\qquad (\text {Definition of}\, \, G)\\\\ &= \displaystyle \int _{a}^{b} f(t)\, dt - 0\\\\ &= \displaystyle \int _{a}^{b} f(t)\, dt \end{align} 至此 FTC1 得证。

假设我们有如下的方程： $$\displaystyle \displaystyle L(x)\, =\, \int _{1}^{x} \frac{dt}{t} \,(x>0).$$ 根据 FTC2，我们可以得到： $$L'(x)\, =\, 1/x$$ $$L(a)=0\,\, for \,\, a = 1$$

根据以上条件，我们不难判断出，$ \displaystyle \displaystyle L(x)\, =\, \int _{1}^{x} \frac{dt}{t} \qquad (x>0).$ 是 $ln(x)$ 的定积分表达形式。而我们发现 $L(x)$ 这样的表达形式，是不能用任何多项式、加减程程等等代数运算来表示的。我们将这样的方程（表达式），称为超越方程（Transcendental Function）。

比如如下的函数： $$ \displaystyle F(x) = \int _{0}^{x} e^{-t^2} \, dt $$ 是如下微分方程的解： $$ \begin{cases} y'=e^{-x^2}\,\,\,\, \text{(differential equation)}\\ y(0)=0, \,\,\,\,\,\,\, \text{(initial condition)} \end{cases} $$ 但该解只能通过定积分来表示。

当我们知道对数的定积分形式的时候，我们就可以用它的导数来描述对数图像的特性了。有几个特性是显然易见的：

• $L'(x) = 1/x$，因为 $x>0$，因此对数的图像是永远递增的。
• $L''(x) = -1/x^2$，因此对数的图像是永远 concave down 的。
• 由 $L(a)=0\,\, for \,\, a = 1$，可知 $L(x)$ 的图像过 $(0,1)$ 点，且过 $(0,1)$ 的斜率为 $L'(1) = 1$
• 当$0<x< 1$时，$L(x) = \displaystyle \int_1^x \frac{dt}{t} = - \displaystyle \int_x^1 \frac{dt}{t} < 0$，因此函数的图像在 $(0,1)$ 上是负的。

由以上四点，我们就可以描绘出对数的图像了：

而我们将 $L(x)=1$ 时的 $x$ 值，定义为 $e$。

对数还有两个很重要的性质，我们也可以使用定积分的形式来证明。 令$\displaystyle \displaystyle L(x)\, =\, \int _{1}^{x} \frac{dt}{t} \qquad \text {for} \, x>0.$

$$1.L(ab) = L(a) + L(b)$$

证明： 根据定积分的特性，$\displaystyle \int_1^{ab}\frac{dt}{t} = \int_1^a \frac{dt}{t} + \int_a^{ab}\frac{dt}{t}$。
因此，我们只需要证明 $\displaystyle \int_a^{ab}\frac{dt}{t}$ 与 $\displaystyle \int_1^b\frac{dt}{t}$ 相等即可。
现在我们对 $\displaystyle \int_a^ab\frac{dt}{t}$ 进行换元：

设 $t= au$，对两边同时微分，则有 $dt = adu$（$a$ 为常数系数）。

通过原有的定积分区域 $[a, ab]$，我们可以计算出换元以后函数的上下极限为：$[a/a, ab/a]$（当 $t$ 分别为原定积分上下极限的情况下），即 $[1,b]$。
因此： $$\displaystyle \int_a^{ab}\frac{dt}{t} = \displaystyle \int_1^{b}\frac{adu}{au} = \displaystyle \int_1^{b}\frac{du}{u} = \displaystyle \int_1^{b}\frac{dt}{t}$$

$$2.L(\frac{1}{x}) = -L(x)$$

同性质1的证明过程，我们依然对其进行换元。令 $u = 1/t$，因此可得：

• $t = 1/u$
• $dt = -1/u^2 \cdot du$

将上述结果带入 $L(x)$ 中，可得： \begin{align} L(x) &=\displaystyle \int _{1}^{x}\frac{dt}{t}\\ &=\displaystyle -\int _{1}^{1/x}\frac{du}{u} &=-L(x) \end{align}

bell curve 被定义为如下的定积分函数：

$$\displaystyle F(x)=\int _{0}^{x} e^{-t^2}\, dt.$$

其图像如下图所示：

bell curve 的原函数 $F(x)$ 的图像可以通过几个点来确定：

1. $F'(x)=e^{-x^2}$，说明 $F(x)$ 是单调递增的函数
2. $F(0)=0$，说明 $F(x)$ 过原点
3. $F''(x)=-2xe^{-x^2}$，说明 $F(x)$ 在 $x<0$ 时 concave up，$x>0$ 时 concave down
4. $F'(0)=1$，说明过原点时斜率为 $1$，因此函数的图像会往左边 concave up，往右边 concave down

通过上述的性质，可以画出 $F(x)$ 的图像：

$F(x)$ 是奇函数：

$F(x)$ 的极限是 $\pm \frac{\sqrt{\pi}}{2}$

The error function，记作 $erf(x)$，表达式如下：

$$ erf(x) = \displaystyle \frac{2}{\sqrt {\pi }}\, \int _{0}^{x} e^{-t^2}\, dt $$

该函数在 bell curve 的原函数的基础上乘以 $\frac{2}{\sqrt{\pi}}$，从而将函数的极限变换为了更加容易讨论的 $\pm 1$

\begin{align} C(x) & = \displaystyle \int _{0}^{x} \cos \left(t^2\right)\, dt\\ S(x)&=\displaystyle \int _{0}^{x} \sin \left(t^2\right)\, dt \end{align}

该函数用于傅里叶分析：

\begin{align} H(x) & = \displaystyle \int _{0}^{x} h(t)\, dt \qquad \\ \text {where}\,\,\,h(t) & = \displaystyle \begin{cases} 1 & \mbox{if } t & = 0 \\ \frac{\sin (t)}{t} & \mbox{if } t\neq 0 \end{cases} \end{align}

该函数与黎曼猜想相关，用于近似小于 $x$ 的质数数量。
$$ Li(x)=\displaystyle \int _{2}^{x} \frac{dt}{\ln (t)} $$

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