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math:calculus:mooc:mit_1801x:a:derivative [2023/04/15 01:57] – ↷ 页面math:calculus:mooc:mit_1801x:1:derivative被移动至math:calculus:mooc:mit_1801x:a:derivative codingharemath:calculus:mooc:mit_1801x:a:derivative [2023/11/26 07:34] (当前版本) – [Power rule] codinghare
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 为了更好的分析函数在某一点的 //Tangant Line// 的表达式，我们需要引入一个概念： //Secant Line// 。\\ \\ \\  为了更好的分析函数在某一点的 //Tangant Line// 的表达式，我们需要引入一个概念： //Secant Line// 。\\ \\ \\ 
-{{ math:calculus:mooc:mit_1801_1x:004.png?400 |}}+{{ math:calculus:mooc:mit_1801x:a:004.png?400 |}}
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 从图中可见，//Secant Line// 是函数上两个点之间的直线。如果再仔细一些，我们发现这条直线的 slope 很有意思：$p$ 点 之于 $q$ 点，在水平方向上移动了 $x_2 - x_1$ 的距离，而在 垂直方向是移动了 $f(x_2) - f(x_1)$ 的距离。通过 slope 的计算方式， //Secant Line// 的斜率可以表示为：\\ 从图中可见，//Secant Line// 是函数上两个点之间的直线。如果再仔细一些，我们发现这条直线的 slope 很有意思：$p$ 点 之于 $q$ 点，在水平方向上移动了 $x_2 - x_1$ 的距离，而在 垂直方向是移动了 $f(x_2) - f(x_1)$ 的距离。通过 slope 的计算方式， //Secant Line// 的斜率可以表示为：\\
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 我们来看一看，如果 $Q$ 无限接近 $P$ 的时候，会出现什么情况： 我们来看一看，如果 $Q$ 无限接近 $P$ 的时候，会出现什么情况：
-{{ math:calculus:mooc:mit_1801_1x:004d.gif?400 |}}+{{ math:calculus:mooc:mit_1801x:a:004d.gif?400 |}}
 可以明显的看出，当 $Q$ 无限接近 $P$ 的时候，两点之间 //Secant Line// 和 $P$ 点的// Tangant Line// 重合了。这说明：$P$ 点 //Tangent Line// 的斜率，与 $Q$ 无限接近 $P$ 时两点之间 //Secant Line// 的斜率相等，可以写成：\\ 可以明显的看出，当 $Q$ 无限接近 $P$ 的时候，两点之间 //Secant Line// 和 $P$ 点的// Tangant Line// 重合了。这说明：$P$ 点 //Tangent Line// 的斜率，与 $Q$ 无限接近 $P$ 时两点之间 //Secant Line// 的斜率相等，可以写成：\\
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-\begin{equation} \begin{split} +\[ 
 +\begin{equation*} \begin{split} 
 \displaystyle f'(x) &= \lim _{b \rightarrow x} \frac{b^n - x^n}{b - x}  \displaystyle f'(x) &= \lim _{b \rightarrow x} \frac{b^n - x^n}{b - x} 
 \\&= \lim _{b \rightarrow x} \frac{(b-x)(b^{n-1} + b^{n-2}x +b^{n-3}x^2+...+b^2x^{n-3} + bx^{n-2} + x^{n-1})}{b - x}  \\&= \lim _{b \rightarrow x} \frac{(b-x)(b^{n-1} + b^{n-2}x +b^{n-3}x^2+...+b^2x^{n-3} + bx^{n-2} + x^{n-1})}{b - x} 
 \\&= \lim _{b \rightarrow x} b^{n-1} + b^{n-2}x +b^{n-3}x^2+...+b^2x^{n-3} + bx^{n-2} + x^{n-1} \\&= \lim _{b \rightarrow x} b^{n-1} + b^{n-2}x +b^{n-3}x^2+...+b^2x^{n-3} + bx^{n-2} + x^{n-1}
 \\& =  nx^{n-1} \\& =  nx^{n-1}
-\end{split}\end{equation}+\end{split}\end{equation*} 
 +\]
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 +
 不过要注意的是 //Power rule// 有两个使用条件： 不过要注意的是 //Power rule// 有两个使用条件：
   - **指数**（//exponent// ) 必须是 **//fixed number//**（比如 $x^x$ 不行），当然可以是任意 //fixed number//   - **指数**（//exponent// ) 必须是 **//fixed number//**（比如 $x^x$ 不行），当然可以是任意 //fixed number//
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-{{ math:calculus:mooc:mit_1801_1x:concave_down.jpg?400 |}}+{{ math:calculus:mooc:mit_1801x:a:concave_down.jpg?400 |}}
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 假设上图是一个函数导数的图像，可以看出的 $$\frac{dy}{dx}$ 变化趋势是：增加->增加变缓->为 ''0'' ->降低（变负）；也就是说，它从一个初始值开始，**一直在减少**。如果这个导数代表着速度，速度一直减少意味着什么呢？加速度为负。因此，我们可以得出一个结论：如果函数图像看上去像是上图橙色部分一样，我们称这样的图像为：//Concave down//，在这个区域中，总有 $\frac{dy^2}{dx^2}<0$ 假设上图是一个函数导数的图像，可以看出的 $$\frac{dy}{dx}$ 变化趋势是：增加->增加变缓->为 ''0'' ->降低（变负）；也就是说，它从一个初始值开始，**一直在减少**。如果这个导数代表着速度，速度一直减少意味着什么呢？加速度为负。因此，我们可以得出一个结论：如果函数图像看上去像是上图橙色部分一样，我们称这样的图像为：//Concave down//，在这个区域中，总有 $\frac{dy^2}{dx^2}<0$
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-{{ math:calculus:mooc:mit_1801_1x:concave_up.jpg?400 |}}+{{ math:calculus:mooc:mit_1801x:a:concave_up.jpg?400 |}}
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 可见的是，该导数的图像在后半段斜率变化的趋势是从负到正的。因此我们可以判断在这个区域内，$\frac{dy^2}{dx^2}>0$。我们称该二阶导数对应的导数图像为：//Concave up//。 可见的是，该导数的图像在后半段斜率变化的趋势是从负到正的。因此我们可以判断在这个区域内，$\frac{dy^2}{dx^2}>0$。我们称该二阶导数对应的导数图像为：//Concave up//。
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-{{ :math:calculus:mooc:mit_1801_1x:sinx_de.svg |}}+{{ math:calculus:mooc:mit_1801x:a:sinx_de.svg |}}
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行 282: 行 285:
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-{{ :math:calculus:mooc:mit_1801_1x:cosx_de.svg |}}+{{ math:calculus:mooc:mit_1801x:a:cosx_de.svg |}}
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   * [[https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%AF%BC%E6%95%B0%E5%88%97%E8%A1%A8|三角函数和反三角函数求导的公式及推导过程   * [[https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%AF%BC%E6%95%B0%E5%88%97%E8%A1%A8|三角函数和反三角函数求导的公式及推导过程
 ]] ]]
-  *   summary PDFs： {{ :math:calculus:mooc:mit_1801_1x:pdf_geom-summary.pdf |导数的几何解释}} | {{ :math:calculus:mooc:mit_1801_1x:pdf_derivasfunct-summary.pdf |导函数}} | {{ :math:calculus:mooc:mit_1801_1x:pdf_calculatingderivs-summary.pdf | 导数的计算}} | {{ :math:calculus:mooc:mit_1801_1x:pdf_leibniz-summary.pdf |莱布尼兹标记}} | {{ :math:calculus:mooc:mit_1801_1x:pdf_trig-summary.pdf |三角函数求导}}+  *   summary PDFs： {{ math:calculus:mooc:mit_1801x:a:pdf_geom-summary.pdf |导数的几何解释}} | {{ math:calculus:mooc:mit_1801x:a:pdf_derivasfunct-summary.pdf |导函数}} | {{ math:calculus:mooc:mit_1801x:a:pdf_calculatingderivs-summary.pdf | 导数的计算}} | {{ math:calculus:mooc:mit_1801x:a:pdf_leibniz-summary.pdf |莱布尼兹标记}} | {{ math:calculus:mooc:mit_1801x:a:pdf_trig-summary.pdf |三角函数求导}}
  
  • 最后更改: 2023/04/15 01:57
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