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-{{ :math:calculus:mooc:mit_1801_1x:definite_integral.svg?300 |}}+{{ math:calculus:mooc:mit_1801x:b:definite_integral.svg?300 |}}
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-{{ :math:calculus:mooc:mit_1801_1x:images_defint_riemann_g.svg?250 |}}+{{ math:calculus:mooc:mit_1801x:b:images_defint_riemann_g.svg?250 |}}
  
 而从代数的角度来看，定积分可以表示为**黎曼和**（//Riemann Sum//），也就是说，面积由很多和组成；每一个和都是由子区间长度与所在位置的函数值的乘积。 而从代数的角度来看，定积分可以表示为**黎曼和**（//Riemann Sum//），也就是说，面积由很多和组成；每一个和都是由子区间长度与所在位置的函数值的乘积。
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 $$\text{For any} \, b>0, \displaystyle \int _0^ b x \,  dx \, =\, \text{Area of the shaded triangle} \, =\,  \frac{1}{2} b^2$$ $$\text{For any} \, b>0, \displaystyle \int _0^ b x \,  dx \, =\, \text{Area of the shaded triangle} \, =\,  \frac{1}{2} b^2$$
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 此类定积分一般以 $0$ 为基准算出两个定积分，在进行相减。比如 $y=x$ 在 $[0,b]$ 上的定积分，是一个梯形，由两个三角形相减得到： 此类定积分一般以 $0$ 为基准算出两个定积分，在进行相减。比如 $y=x$ 在 $[0,b]$ 上的定积分，是一个梯形，由两个三角形相减得到：
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-{{ :math:calculus:mooc:mit_1801_1x:images_defint_2tobunderx.svg?200 |}}+{{ math:calculus:mooc:mit_1801x:b:images_defint_2tobunderx.svg?200 |}}
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 \begin{align} \begin{align}
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-{{ :math:calculus:mooc:mit_1801_1x:images_defint_areaundercurveabc.svg?200 |}}+{{ math:calculus:mooc:mit_1801x:b:images_defint_areaundercurveabc.svg?200 |}}
 == f(x) 为偶函数的情况== == f(x) 为偶函数的情况==
 当定积分的 $f(x)$ 为偶函数时，其函数图像之于 $y$ 轴对称。此时，在 $-x$ 轴与 $+x$ 轴上的定积分面积相等，即： 当定积分的 $f(x)$ 为偶函数时，其函数图像之于 $y$ 轴对称。此时，在 $-x$ 轴与 $+x$ 轴上的定积分面积相等，即：
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-{{ :math:calculus:mooc:mit_1801_1x:images_defint_symmetry.svg?200 |}}+{{ math:calculus:mooc:mit_1801x:a:images_defint_symmetry.svg?200 |}}
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 $$\displaystyle \int _{-b}^0 f(x) \,  dx \, =\,  \int _0^ b f(x) \,  dx.$$ $$\displaystyle \int _{-b}^0 f(x) \,  dx \, =\,  \int _0^ b f(x) \,  dx.$$
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-{{ :math:calculus:mooc:mit_1801_1x:limit_pyramid.svg?250 |}}+{{ math:calculus:mooc:mit_1801x:b:limit_pyramid.svg?250 |}}
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 其中各个部分代表的意义如下图： 其中各个部分代表的意义如下图：
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-{{ :math:calculus:mooc:mit_1801_1x:sum_notation.svg?250 |}}+{{ math:calculus:mooc:mit_1801x:b:sum_notation.svg?250 |}}
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 ===定积分与黎曼和=== ===定积分与黎曼和===
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-{{ :math:calculus:mooc:mit_1801_1x:images_defint_nintervals2.svg?250 |}}+{{ math:calculus:mooc:mit_1801x:b:images_defint_nintervals2.svg?250 |}}
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-{{ :math:calculus:mooc:mit_1801_1x:images_defint_ci2.svg?250 |}}+{{ math:calculus:mooc:mit_1801x:b:images_defint_ci2.svg?250 |}}
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 根据上述推导，那么定积分所表示面积可以表示为： 根据上述推导，那么定积分所表示面积可以表示为：
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-{{ math:calculus:mooc:mit_1801_1x:exc_1.jpg?400 |}}+{{ math:calculus:mooc:mit_1801x:b:exc_1.jpg?400 |}}
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-{{ math:calculus:mooc:mit_1801_1x:exc_2.jpg?300 |}}+{{ math:calculus:mooc:mit_1801x:b:exc_2.jpg?300 |}}
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行 380: 行 380:
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-{{ :math:calculus:mooc:mit_1801_1x:images_ftc1_roundtrip.svg?200 |}}+{{ math:calculus:mooc:mit_1801x:b:images_ftc1_roundtrip.svg?200 |}}
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-{{ :math:calculus:mooc:mit_1801_1x:images_ftc1_roundtripx.svg?200 |}}+{{ math:calculus:mooc:mit_1801x:b:images_ftc1_roundtripx.svg?200 |}}
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行 399: 行 399:
 ==定积分的一般解释：几何观点== ==定积分的一般解释：几何观点==
 不难推断，如果将面积视为绝对值，那么定积分的通用几何解释，就是 **$x$ 轴以上的面积减去 $x$ 轴以下面积得到的最终结果（带符号）**。换句话说，定积分是函数与 $x$ 轴形成的**带符号的面积**，其中 $x$ 轴以上为正，$x$ 轴一下为负。\\ \\ \\  不难推断，如果将面积视为绝对值，那么定积分的通用几何解释，就是 **$x$ 轴以上的面积减去 $x$ 轴以下面积得到的最终结果（带符号）**。换句话说，定积分是函数与 $x$ 轴形成的**带符号的面积**，其中 $x$ 轴以上为正，$x$ 轴一下为负。\\ \\ \\ 
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 ==定积分的一般解释：黎曼和观点== ==定积分的一般解释：黎曼和观点==
 定积分的本质也可以看做是元素有正有负的累积和。 定积分的本质也可以看做是元素有正有负的累积和。
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-{{ :math:calculus:mooc:mit_1801_1x:images_ftc1_rimannnegative.svg?200 |}}+{{ math:calculus:mooc:mit_1801x:b:images_ftc1_rimannnegative.svg?200 |}}
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 即： 即：
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-{{ :math:calculus:mooc:mit_1801_1x:images_ftc2_constant.svg?300 |}}+{{ math:calculus:mooc:mit_1801x:b:images_ftc2_constant.svg?300 |}}
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行 657: 行 657:
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-{{ :math:calculus:mooc:mit_1801_1x:images_ftc2_proofftc2.svg?300 |}}+{{ math:calculus:mooc:mit_1801x:b:images_ftc2_proofftc2.svg?300 |}}
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 根据上图，我们可知： 根据上图，我们可知：
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-{{ :math:calculus:mooc:mit_1801_1x:images_ftc2.svg?250 |}}+{{ math:calculus:mooc:mit_1801x:b:images_ftc2.svg?250 |}}
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行 742: 行 742:
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-{{ :math:calculus:mooc:mit_1801_1x:images_ftc2_log.svg?250 |}}+{{ math:calculus:mooc:mit_1801x:b:images_ftc2_log.svg?250 |}}
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行 793: 行 793:
 其图像如下图所示： 其图像如下图所示：
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-{{ :math:calculus:mooc:mit_1801_1x:images_ftc2_bell.svg?300 |}}+{{ math:calculus:mooc:mit_1801x:b:images_ftc2_bell.svg?300 |}}
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 ==The integral of the bell curve== ==The integral of the bell curve==
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-{{ :math:calculus:mooc:mit_1801_1x:images_ftc2_bellintegral.svg?300 |}}+{{ math:calculus:mooc:mit_1801x:b:images_ftc2_bellintegral.svg?300 |}}
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 ==F(x) 的其他性质== ==F(x) 的其他性质==
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 $F(x)$ **的极限是** $\pm \frac{\sqrt{\pi}}{2}$ $F(x)$ **的极限是** $\pm \frac{\sqrt{\pi}}{2}$
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-{{ :math:calculus:mooc:mit_1801_1x:images_ftc2_bellintegraly.svg?300 |}}+{{ math:calculus:mooc:mit_1801x:b:images_ftc2_bellintegraly.svg?300 |}}
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 ==The error function== ==The error function==
  • 最后更改: 2023/04/15 02:02
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