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math:math_note:linear_algebra:laff:week_9 [2019/02/18 05:23] – [子空间的维度 / Rank] codinghare | math:linear_algebra:week_9 [2020/04/08 03:58] – ↷ 链接因页面移动而自动修正 codinghare | ||
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===子空间的维度 / Rank=== | ===子空间的维度 / Rank=== | ||
根据 5.3.2 的推论,每个平凡子空间都存在一组基可以表示其自身。显而易见的是,**基并不是唯一的**(比如我们可以给所有基乘上一个常数,这些基依然可以表示子空间内所有向量)。但**基的数量一定是固定的**。而基的数量,我们就称为**子空间的维度**,也称为子空间的**秩**(// | 根据 5.3.2 的推论,每个平凡子空间都存在一组基可以表示其自身。显而易见的是,**基并不是唯一的**(比如我们可以给所有基乘上一个常数,这些基依然可以表示子空间内所有向量)。但**基的数量一定是固定的**。而基的数量,我们就称为**子空间的维度**,也称为子空间的**秩**(// | ||
- | > Let $S$ be a subspace of $\mathbb{R}^m$ and let $\{v0, v1, | + | > Let $S$ be a subspace of $\mathbb{R}^m$ and let $\{v_0, v_1, |
** | ** | ||
+ | 证明过程: | ||
+ | <code linenums: | ||
+ | /*反证*/ | ||
+ | 令 k > n | ||
+ | 令 V = (v0 | v1| ... | vn−1) | ||
+ | 令 W = (w0 | w1| ... | wk−1) | ||
+ | 令 X = (x0 | x1| ... | xk−1)^T | ||
+ | ∴ 存在 wj = Vxj // V 张成了 S,W 属于 S,因此一定能找到用 v 表示 w 的方法,也就是 V 和 X(系数) 的线性组合表示 W | ||
+ | ∴ W = VX | ||
+ | 为了匹配 V 的列数 n,X 中每个向量的大小也应该是 n | ||
+ | 所以 X 是一个 n*k 的矩阵 | ||
+ | 因为 k > n | ||
+ | ∴ 如果将 X 视作线性方程组,那么 X 有无穷多解 | ||
+ | 也就是 N(X) 中存在不等于 0 的向量 y | ||
+ | ∴ Wy = VXy = V(Xy) = V(0) = 0 | ||
+ | W 中必定含有非零的向量 | ||
+ | 这与 W 是子空间 S 的基矛盾 // | ||
+ | 得证 | ||
+ | </ | ||
+ | ====相关资料==== | ||
+ | * 非 SVG 图来源于 LAFF | ||
+ | * [[http:// | ||
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