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-{{ :math:math_note:linear_algebra:laff:week9-min_1_.png?250 |}}+{{ math:linear_algebra:laff:week9-min_1_.png?250 |}}
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行 545: 行 545:
 ===子空间的维度 / Rank=== ===子空间的维度 / Rank===
 根据 5.3.2 的推论，每个平凡子空间都存在一组基可以表示其自身。显而易见的是，**基并不是唯一的**（比如我们可以给所有基乘上一个常数，这些基依然可以表示子空间内所有向量）。但**基的数量一定是固定的**。而基的数量，我们就称为**子空间的维度**，也称为子空间的**秩**（//Rank//）。来看下正式的定义： 根据 5.3.2 的推论，每个平凡子空间都存在一组基可以表示其自身。显而易见的是，**基并不是唯一的**（比如我们可以给所有基乘上一个常数，这些基依然可以表示子空间内所有向量）。但**基的数量一定是固定的**。而基的数量，我们就称为**子空间的维度**，也称为子空间的**秩**（//Rank//）。来看下正式的定义：
-> Let $S$ be a subspace of $\mathbb{R}^m$ and let $\{v0, v1,···, vn−1\} ⊂  \mathbb{R}^m$ and $\{w0,w1,···,wk−1\} ⊂  \mathbb{R}^m$ both be bases for $S$. Then $k = n$. In other words, **the number of vectors in a basis is unique.+> Let $S$ be a subspace of $\mathbb{R}^m$ and let $\{v_0, v_1,···, v_{n−1}\} ⊂  \mathbb{R}^m$ and $\{w_0,w_1,···,w_{k−1}\} ⊂  \mathbb{R}^m$ both be bases for $S$. Then $k = n$. In other words, **the number of vectors in a basis is unique.
 ** **
 +证明过程：
 +<code linenums:1>
 +/*反证*/
 +令 k > n
 +令 V =  (v0 | v1| ... | vn−1)
 +令 W =  (w0 | w1| ... | wk−1)
 +令 X =  (x0 | x1| ... | xk−1)^T
 +∴ 存在 wj = Vxj // V 张成了 S，W 属于 S，因此一定能找到用 v 表示 w 的方法，也就是 V 和 X（系数） 的线性组合表示 W
 +∴ W = VX
 +为了匹配 V 的列数 n，X 中每个向量的大小也应该是 n
 +所以 X 是一个 n*k 的矩阵
 +因为 k > n
 +∴ 如果将 X 视作线性方程组，那么 X 有无穷多解
 +也就是 N(X) 中存在不等于 0 的向量 y
 +∴ Wy = VXy = V(Xy) = V(0) = 0
 +W 中必定含有非零的向量
 +这与 W 是子空间 S 的基矛盾 //基必须是线性无关的向量组
 +得证
 +</code>
 +====相关资料====
 +  * 非 SVG 图来源于 LAFF
 +  * [[http://www.cs.utexas.edu/users/flame/LAFF/Notes/Week9.pdf#page=31|本章 PDF]]
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  • 最后更改: 2021/11/11 08:07
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