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math:linear_algebra:matrix_engineers:week3 [2024/01/10 14:29] – [Normal Equation] codingharemath:linear_algebra:matrix_engineers:week3 [2024/02/02 06:27] (当前版本) – [The Least-squares problem] codinghare
行 459: 行 459:
 \] \]
 很明显，这是一个 linear system。在这个 Linear system 中，$x$, $y$ 都是已知的，而 $\beta_0, \beta_1$ 是未知的。因此可以做下面的变型： 很明显，这是一个 linear system。在这个 Linear system 中，$x$, $y$ 都是已知的，而 $\beta_0, \beta_1$ 是未知的。因此可以做下面的变型：
 +\\ \\ 
 {{ :math:linear_algebra:matrix_engineers:least_problem_axb.svg?200 |}} {{ :math:linear_algebra:matrix_engineers:least_problem_axb.svg?200 |}}
 \\ \\  \\ \\ 
行 488: 行 489:
 \end{align*}  \end{align*} 
 \] \]
-\\  
 记作： 记作：
 >$$ >$$
行 496: 行 496:
 这个公式被称为 //Normal Equation//，是计算 Best fit line 的重要手段。 这个公式被称为 //Normal Equation//，是计算 Best fit line 的重要手段。
 </WRAP> </WRAP>
 +==Projection matrix==
 +当 $col(A)$ 中的向量是线性无关的时候，$A^TA$ 的结果是一个方阵，是可逆的。因此，对 //Normal Equation// 可以做出进一步的变形：
 +\\ 
 +\[
 +\begin{align*}
 +&A^TAx  = A^Tb \\
 +\Rightarrow &x  = (A^TA)^{-1}A^Tb \\
 +\Rightarrow &Ax = {\color{Red} A(A^TA)^{-1}A^T} b = b_{proj_{Col(A)}}
 +\end{align*}
 +\]
 +标红的部分被称为 //Projection matrix//。该矩阵将 $b$ 投影到 $Col(A)$ 上。
 +==利用 normal equation 计算 best fit line==
 +//假设有数据点：$(1,1), (2,3),(3,2)$，求过这几点的 best fit line。//\\ \\ 
 +首先，根据数据点，以 $y = \beta_0 + \beta_1x$ 为模板，建立 linear system。通过 linear system 确定 $A$：
  
 +\[
  
 +\begin{pmatrix}
 +  1&1 \\
 +  1& 2\\
 +  1&3
 +\end{pmatrix}
 +\begin{pmatrix}
 +\beta_0\\
 +\beta_1
 +
 +\end{pmatrix}
 +=
 +\begin{pmatrix}
 + 1\\
 + 3\\
 +2
 +\end{pmatrix}
 +\]
 +将 $A$ 带入 normal equation：
 +\[
 +\begin{pmatrix*}
 +  1&  1& 1\\
 +  1&  2&3
 +\end{pmatrix*}
 +\begin{pmatrix*}
 +  1&1 \\
 +  1& 2\\
 +  1&3
 +\end{pmatrix*}
 +\begin{pmatrix*}
 +\beta_0\\
 +\beta_1
 +
 +\end{pmatrix*}
 +=
 +\begin{pmatrix*}
 +  1&  1& 1\\
 +  1&  2&3
 +\end{pmatrix*}
 +\begin{pmatrix*}
 + 1\\
 + 3\\
 +2
 +\end{pmatrix*}
 +\]
 +\\ 
 +计算后得到关于 $\beta_0$ 和 $\beta_1$ 的 linear system。此时的未知数与等式数量相同，因此可以求解：
 +\\ 
 +\[
 +\begin{pmatrix*}
 + 3 &6 \\
 + 6 &14
 +\end{pmatrix*}
 +\begin{pmatrix*}
 +\beta_0\\
 +\beta_1
 +
 +\end{pmatrix*}
 +=
 +\begin{pmatrix*}
 + 6\\
 +13
 +\end{pmatrix*}
 +
 +\]
 +\\ 解得 $\beta_0 = 1$，$\beta_1 = 1/2$，因此得到的直线方程为 $y = 1 + 1/2 * x$
  • 最后更改: 2024/01/10 14:29
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