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math:linear_algebra:matrix_engineers:week3 [2024/01/10 14:41] – [利用 normal equation 计算 best fit line] codingharemath:linear_algebra:matrix_engineers:week3 [2024/02/02 06:27] (当前版本) – [The Least-squares problem] codinghare
行 459: 行 459:
 \] \]
 很明显，这是一个 linear system。在这个 Linear system 中，$x$, $y$ 都是已知的，而 $\beta_0, \beta_1$ 是未知的。因此可以做下面的变型： 很明显，这是一个 linear system。在这个 Linear system 中，$x$, $y$ 都是已知的，而 $\beta_0, \beta_1$ 是未知的。因此可以做下面的变型：
 +\\ \\ 
 {{ :math:linear_algebra:matrix_engineers:least_problem_axb.svg?200 |}} {{ :math:linear_algebra:matrix_engineers:least_problem_axb.svg?200 |}}
 \\ \\  \\ \\ 
行 507: 行 508:
 标红的部分被称为 //Projection matrix//。该矩阵将 $b$ 投影到 $Col(A)$ 上。 标红的部分被称为 //Projection matrix//。该矩阵将 $b$ 投影到 $Col(A)$ 上。
 ==利用 normal equation 计算 best fit line== ==利用 normal equation 计算 best fit line==
-//假设有数据点：$(1,1), (2,3),(3,2)$，求过这几点的 best fit line。//+//假设有数据点：$(1,1), (2,3),(3,2)$，求过这几点的 best fit line。//\\ \\  
 +首先，根据数据点，以 $y = \beta_0 + \beta_1x$ 为模板，建立 linear system。通过 linear system 确定 $A$： 
 + 
 +\[ 
 + 
 +\begin{pmatrix} 
 +  1&1 \\ 
 +  1& 2\\ 
 +  1&3 
 +\end{pmatrix} 
 +\begin{pmatrix} 
 +\beta_0\\ 
 +\beta_1 
 + 
 +\end{pmatrix} 
 += 
 +\begin{pmatrix} 
 + 1\\ 
 + 3\\ 
 +2 
 +\end{pmatrix} 
 +\] 
 +将 $A$ 带入 normal equation： 
 +\[ 
 +\begin{pmatrix*} 
 +  1&  1& 1\\ 
 +  1&  2&3 
 +\end{pmatrix*} 
 +\begin{pmatrix*} 
 +  1&1 \\ 
 +  1& 2\\ 
 +  1&3 
 +\end{pmatrix*} 
 +\begin{pmatrix*} 
 +\beta_0\\ 
 +\beta_1 
 + 
 +\end{pmatrix*} 
 += 
 +\begin{pmatrix*} 
 +  1&  1& 1\\ 
 +  1&  2&3 
 +\end{pmatrix*} 
 +\begin{pmatrix*} 
 + 1\\ 
 + 3\\ 
 +2 
 +\end{pmatrix*} 
 +\] 
 +\\  
 +计算后得到关于 $\beta_0$ 和 $\beta_1$ 的 linear system。此时的未知数与等式数量相同，因此可以求解： 
 +\\  
 +\[ 
 +\begin{pmatrix*} 
 + 3 &6 \\ 
 + 6 &14 
 +\end{pmatrix*} 
 +\begin{pmatrix*} 
 +\beta_0\\ 
 +\beta_1 
 + 
 +\end{pmatrix*} 
 += 
 +\begin{pmatrix*} 
 + 6\\ 
 +13 
 +\end{pmatrix*} 
 + 
 +\] 
 +\\ 解得 $\beta_0 = 1$，$\beta_1 = 1/2$，因此得到的直线方程为 $y = 1 + 1/2 * x$
  • 最后更改: 2024/01/10 14:41
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