What & How & Why

您在这里: start » math » linear_algebra » matrix_engineers » week4

差别

这里会显示出您选择的修订版和当前版本之间的差别。

到此差别页面的链接

两侧同时换到之前的修订记录前一修订版
后一修订版		前一修订版
math:linear_algebra:matrix_engineers:week4 [2024/02/06 06:45] – [对角化的推导] codingharemath:linear_algebra:matrix_engineers:week4 [2024/02/06 13:15] (当前版本) – [求解特征值和特征向量：实例1] codinghare
行 256: 行 256:
 \begin{bmatrix} \begin{bmatrix}
  0 & 1\\  0 & 1\\
- 1 &9+ 1 &0
 \end{bmatrix} \end{bmatrix}
 $$ $$
行 352: 行 352:
 >$$ >$$
 AS=S\Lambda AS=S\Lambda
 +$$
 +也就是说，矩阵与其特征向量矩阵的乘积，等于其特征向量矩阵与特征值组成的对角矩阵的乘积。该结论可以推广到 $n \times n$ 矩阵，前提是**特征向量矩阵中的向量线性无关**。
 +==两个重要的关系==
 +由于 $S$ 是可逆的（向量线性无关），对 $AS=S\Lambda$ 两边同时乘以 $S^{-1}$ 可得：
 +
 +>\[
 +A=S\Lambda S^{-1}
 +\]
 +
 +对 $AS=S\Lambda$ 去掉右边的 $S$ 可得：
 +>\[
 +\Lambda = S^{-1}AS
 +\]
 +第一个等式被称为 $A$ 的 //Factorization//，第二个等式被称为 $A$ 的 //Diagonalization//。
 +==Matrix Diagonalization workflow==
 +根据 $\Lambda = S^{-1}AS$，要想将 $A$ 对角化，首先要求出其特征化矩阵 $S$。之前的步骤为：
 +  * 根据 $Det(A-\lambda Ix) = 0$ 分别求出特征值与其对应的特征向量
 +  * 将特征向量组成矩阵 $S$
 +  * 之后只需求出 $S^{-1}$ 即可
 +<WRAP center round box 100%>
 +求 $S^{-1}$ 的时候需要查看矩阵 $S$ 是否是 //Orthagonal Matrix//。如果是的话：
 +  * 将特征向量进行单位化
 +  * 应用 //Orthagonal Matrix// 的特性 $S{-1} = S^T$，可以简化求 $S^{-1}$ 的过程。
 +</WRAP>
 +===Powers of a Matrix===
 +如果矩阵 $A$ 的特征向量是线性无关的话，那么 $A^n$ 会非常好计算。首先，由 $A=S\Lambda S^{-1}$，那么可知：
 +\\ \\ 
 +\[
 +\begin{align*}
 +A^2 & = (S\Lambda S^{-1})(S\Lambda S^{-1}) \\
 +&=S\Lambda (S^{-1}S)\Lambda S^{-1} \\
 +&=S\Lambda I\Lambda S^{-1} \\
 +&=S\Lambda^2 S^{-1}
 +\end{align*}
 +\]
 +根据上面的推导，非常容易就可以得到 $A^n$ 的表达式：
 +>$$
 +A^n=S\Lambda^n S^{-1}
 $$ $$
  • 最后更改: 2024/02/06 06:45
  • ©2022 YGwiki.com