本 Wiki 开启了 HTTPS。但由于同 IP 的 Blog 也开启了 HTTPS，因此本站必须要支持 SNI 的浏览器才能浏览。为了兼容一部分浏览器，本站保留了 HTTP 作为兼容。如果您的浏览器支持 SNI，请尽量通过 HTTPS 访问本站，谢谢！
这里会显示出您选择的修订版和当前版本之间的差别。
| 两侧同时换到之前的修订记录前一修订版后一修订版 | 前一修订版 | ||
| math:linear_algebra:matrix_engineers:week4 [2024/02/06 06:52] – [两个重要的关系] codinghare | math:linear_algebra:matrix_engineers:week4 [2024/02/06 13:15] (当前版本) – [求解特征值和特征向量：实例1] codinghare | ||
|---|---|---|---|
| 行 256: | 行 256: | ||
| \begin{bmatrix} | \begin{bmatrix} | ||
| 0 & 1\\ | 0 & 1\\ | ||
| - | 1 &9 | + | 1 &0 |
| \end{bmatrix} | \end{bmatrix} | ||
| $$ | $$ | ||
| 行 355: | 行 355: | ||
| 也就是说，矩阵与其特征向量矩阵的乘积，等于其特征向量矩阵与特征值组成的对角矩阵的乘积。该结论可以推广到 $n \times n$ 矩阵，前提是**特征向量矩阵中的向量线性无关**。 | 也就是说，矩阵与其特征向量矩阵的乘积，等于其特征向量矩阵与特征值组成的对角矩阵的乘积。该结论可以推广到 $n \times n$ 矩阵，前提是**特征向量矩阵中的向量线性无关**。 | ||
| ==两个重要的关系== | ==两个重要的关系== | ||
| - | 由于 $S$ 是可逆的（向量线性无关）， | + | 由于 $S$ 是可逆的（向量线性无关），对 $AS=S\Lambda$ 两边同时乘以 $S^{-1}$ 可得： |
| - | \[ | + | >\[ |
| A=S\Lambda S^{-1} | A=S\Lambda S^{-1} | ||
| \] | \] | ||
| 对 $AS=S\Lambda$ 去掉右边的 $S$ 可得： | 对 $AS=S\Lambda$ 去掉右边的 $S$ 可得： | ||
| - | \[ | + | >\[ |
| \Lambda = S^{-1}AS | \Lambda = S^{-1}AS | ||
| \] | \] | ||
| + | 第一个等式被称为 $A$ 的 // | ||
| + | ==Matrix Diagonalization workflow== | ||
| + | 根据 $\Lambda = S^{-1}AS$，要想将 $A$ 对角化，首先要求出其特征化矩阵 $S$。之前的步骤为： | ||
| + | * 根据 $Det(A-\lambda Ix) = 0$ 分别求出特征值与其对应的特征向量 | ||
| + | * 将特征向量组成矩阵 $S$ | ||
| + | * 之后只需求出 $S^{-1}$ 即可 | ||
| + | <WRAP center round box 100%> | ||
| + | 求 $S^{-1}$ 的时候需要查看矩阵 $S$ 是否是 // | ||
| + | * 将特征向量进行单位化 | ||
| + | * 应用 // | ||
| + | </ | ||
| + | ===Powers of a Matrix=== | ||
| + | 如果矩阵 $A$ 的特征向量是线性无关的话，那么 $A^n$ 会非常好计算。首先，由 $A=S\Lambda S^{-1}$，那么可知： | ||
| + | \\ \\ | ||
| + | \[ | ||
| + | \begin{align*} | ||
| + | A^2 & = (S\Lambda S^{-1})(S\Lambda S^{-1}) \\ | ||
| + | & | ||
| + | & | ||
| + | & | ||
| + | \end{align*} | ||
| + | \] | ||
| + | 根据上面的推导，非常容易就可以得到 $A^n$ 的表达式： | ||
| + | >$$ | ||
| + | A^n=S\Lambda^n S^{-1} | ||
| + | $$ | ||