Limits and continuity

khan Calculus tips

极限的定义如下：

Formally, the statement $\displaystyle {\lim _{x\rightarrow c} f(x) = L}$ is defined as:
For all $\varepsilon >0,$ there exists some $\delta > 0$ such that if $0 < |x-c| < \delta ,$ then $|f(x)-L| < \varepsilon .$

这一段定义实际上想说的是一件事：

• 我有一个函数 $f(x)$
• 假设 $x$ 轴上有一点 $c$
• 当我在在 $x$ 上无限趋近与 $c$ 时，总能使得 $f(x)$ 无限趋近一个值（点），那这个值就是 $f(x)$ 在点 $c$ 处的极限值（记作 $L$）

然后，定义把这个无限趋近以距离的方式描述了出来：

• $x$ 到 $c$ 的距离：$|x-c|$
• $f(x)$ 到 值为 $L$ 点的距离 $|f(x) -L|$

现在，我们用 $\delta$ 与 $\varepsilon$ 分别表示 $x$ 到 $c$ 以及 $f(x)$ 到 $L$ 的距离。也就是说，如果对于任意 $\delta$ 都能找到对应的 $\varepsilon$ 的话，那么 $L$ 就是 $f(x)$ 在点 $c$ 处的极限。

这实际上是需要证明 $\delta$ 与 $\varepsilon$ 存在一种函数上的关系，就是所谓的对于任意 $\delta$ ，总能找到与之对应的 $\varepsilon$。实际上，只要关系建立了，那么极限的存在就被证明了。比如 Khan 的例子： $$\lim_{x \to 5}2x = 10$$ 根据极限的定义，$L$ 为 10，那么有 $$|2x - 10| <\varepsilon$$ 此时 $|x - 5|<\delta$，两边同时乘以 2, 有 $|2x-10| < 2\delta$ 那么根据之前的不等式，可以推出，只要满足下面的关系，那么极限 $L=10$ 就是存在的： $$2\delta = \varepsilon$$ 至此关系找到，因此极限存在。

• 函数的和/差/积/商的极限计算的时候，子函数的极限可能会不存在；但只要是函数的左极限和右极限（子函数的单边极限的结果再进行运算）相等，那么极限就是可以计算出来的。

• 当内外函数极限都存在时，复合函数的极限存在等价式：$\displaystyle \lim_{x \to a}f(g(x)) = f( \lim_{x \to a}(g(x))$，该等价的存在前提是 $ \displaystyle\lim_{x \to a}g(x)$ 存在。
• 当内部函数 $g(x)$ 的极限不存在时，不能直接推断出$f(g(x))$ 的极限不存在，而是要对 $f(g(x))$ 的左右极限进行计算看是否相等。
• 当外部函数 $f(x)$ 的极限不存在时，需要注意 $g(x)$ 的逼近方向。如果 $g(x)$ 的左右极限都是从同一个方向逼近极限值时（比如图像上，$g(x)$ 的左右极限都从小于极限值的方向趋近于极限值），$f(g(x))$ 的极限是很可能存在的；表现的形式是当 $g(x)$ 趋近其极限时，$f(g(x)$ 的左右极限的趋近方式相同，因此计算出的结果也相同，极限存在。

• 连续函数 $f(x)$在点 $a$ 的极限等于 $f(a)$
• 如果点 $a$ 不处于三角函数的定义域中，那么该点的极限大概率不存在
• $f(x)$ 有绝对值部分的时候可以进行函数分段处理

$$ \begin{array}{c} \displaystyle if \,\,\,f(x)\le g(x) \le h(x), \\ \\ \displaystyle \lim_{x \to a} f(x) = L \,\, and\,\, \lim_{x \to a} f(x) = L\\ \\ \Rightarrow \displaystyle \lim_{x \to a} g(x) = L \end{array}$$

• 定义：点 $c$ 处的极限等于 f©

• Removable
• Jump
• asymptotic

题目的意思是求全方程上的不连续点的值。这种题通过简化方程，再将未定义点带入简化方程计算即可。可用的手段：

• Factoring
• rationalizaion

• 当左极限和右极限同时趋近同一个方向的无限时，称该极限趋近于无穷，记做：$\displaystyle \lim_{x\to a}f(x) \pm \infty$
• 此类极限存在的条件与一般极限一致，也是要左右极限相等，因此左右极限符号不同时此类极限不存在

• vertical asymptote：这种图像一般是非零除以零的函数图像。由于符号问题，$x￥ 从左右逼近（分母为 0 时）会趋近正负无穷。
• horizontal asymptote：这种情况一般是上面的函数图像，当 $x \to \infty$ 时存在。当 $x$ 无穷大时，函数会无限逼近一个值。需要注意，这种情况下可能会有震荡（Oscillation）出现（比如函数中有周期函数的部分），这种情况下极限是不存在的。

• 简单的求值表格分析
• 如果有周期函数
  • 画图
  • 求值表格

这样的函数存在无限个

• 可以通过观察变化率大的部分（dominate term）得出结论，比如多项式的高次部分。
• 需要注意正负号对函数的影响
• 带根号函数时，需要考虑 $x$ 为正负的情况。通常将开方结果视为 $|x|$（如果去除根号后还带有偶数次方，则不用考虑）

• IVT 针对的是闭区间
• 前提是函数在指定区间连续