What & How & Why

Limits and continuity

khan Calculus tips


Limits

Formal definition of limits

极限的定义如下:

Formally, the statement $\displaystyle {\lim _{x\rightarrow c} f(x) = L}$ is defined as:
For all $\varepsilon >0,$ there exists some $\delta > 0$ such that if $0 < |x-c| < \delta ,$ then $|f(x)-L| < \varepsilon .$
相关意义

这一段定义实际上想说的是一件事:

  • 我有一个函数 $f(x)$
  • 假设 $x$ 轴上有一点 $c$
  • 当我在在 $x$ 上无限趋近与 $c$ 时,总能使得 $f(x)$ 无限趋近一个值(点),那这个值就是 $f(x)$ 在点 $c$ 处的极限值(记作 $L$)

然后,定义把这个无限趋近以距离的方式描述了出来:

  • $x$ 到 $c$ 的距离:$|x-c|$
  • $f(x)$ 到 值为 $L$ 点的距离 $|f(x) -L|$

现在,我们用 $\delta$ 与 $\varepsilon$ 分别表示 $x$ 到 $c$ 以及 $f(x)$ 到 $L$ 的距离。也就是说,如果对于任意 $\delta$ 都能找到对应的 $\varepsilon$ 的话,那么 $L$ 就是 $f(x)$ 在点 $c$ 处的极限。

关于使用定义证明极限是否存在

这实际上是需要证明 $\delta$ 与 $\varepsilon$ 存在一种函数上的关系,就是所谓的对于任意 $\delta$ ,总能找到与之对应的 $\varepsilon$。实际上,只要关系建立了,那么极限的存在就被证明了。比如 Khan 的例子: $$\lim_{x \to 5}2x = 10$$ 根据极限的定义,$L$ 为 10,那么有 $$|2x - 10| <\varepsilon$$ 此时 $|x - 5|<\delta$,两边同时乘以 2, 有 $|2x-10| < 2\delta$ 那么根据之前的不等式,可以推出,只要满足下面的关系,那么极限 $L=10$ 就是存在的: $$2\delta = \varepsilon$$ 至此关系找到,因此极限存在。

Limit properties

  • 函数的和/差/积/商的极限计算的时候,子函数的极限可能会不存在;但只要是函数的左极限和右极限(子函数的单边极限的结果再进行运算)相等,那么极限就是可以计算出来的。
复合函数的处理
  • 当内外函数极限都存在时,复合函数的极限存在等价式:$\displaystyle \lim_{x \to a}f(g(x)) = f( \lim_{x \to a}(g(x))$,该等价的存在前提是 $ \displaystyle\lim_{x \to a}g(x)$ 存在
  • 当内部函数 $g(x)$ 的极限不存在时,不能直接推断出$f(g(x))$ 的极限不存在,而是要对 $f(g(x))$ 的左右极限进行计算看是否相等。
  • 当外部函数 $f(x)$ 的极限不存在时,需要注意 $g(x)$ 的逼近方向。如果 $g(x)$ 的左右极限都是从同一个方向逼近极限值时(比如图像上,$g(x)$ 的左右极限都从小于极限值的方向趋近于极限值),$f(g(x))$ 的极限是很可能存在的;表现的形式是当 $g(x)$ 趋近其极限时,$f(g(x)$ 的左右极限的趋近方式相同,因此计算出的结果也相同,极限存在。
替换法求极限
  • 连续函数 $f(x)$在点 $a$ 的极限等于 $f(a)$
  • 如果点 $a$ 不处于三角函数的定义域中,那么该点的极限大概率不存在
  • $f(x)$ 有绝对值部分的时候可以进行函数分段处理
求极限的总体步骤

Squeeze theorem

$$ \begin{array}{c} \displaystyle if \,\,\,f(x)\le g(x) \le h(x), \\ \\ \displaystyle \lim_{x \to a} f(x) = L \,\, and\,\, \lim_{x \to a} f(x) = L\\ \\ \Rightarrow \displaystyle \lim_{x \to a} g(x) = L \end{array}$$

Continuity

  • 定义:点 $c$ 处的极限等于 f©

Types of discontinuities

  • Removable
  • Jump
  • asymptotic

添加 continuity 的点

题目的意思是求全方程上的不连续点的值。这种题通过简化方程,再将未定义点带入简化方程计算即可。可用的手段:

  • Factoring
  • rationalizaion

infinite limit

  • 当左极限和右极限同时趋近同一个方向的无限时,称该极限趋近于无穷,记做:$\displaystyle \lim_{x\to a}f(x) \pm \infty$
  • 此类极限存在的条件与一般极限一致,也是要左右极限相等,因此左右极限符号不同时此类极限不存在
asymptotes and limit
  • vertical asymptote:这种图像一般是非零除以零的函数图像。由于符号问题,$x¥ 从左右逼近(分母为 0 时)会趋近正负无穷。
  • horizontal asymptote:这种情况一般是上面的函数图像,当 $x \to \infty$ 时存在。当 $x$ 无穷大时,函数会无限逼近一个值。需要注意,这种情况下可能会有震荡(Oscillation)出现(比如函数中有周期函数的部分),这种情况下极限是不存在的。
分析方法
  • 简单的求值表格分析
  • 如果有周期函数
    • 画图
    • 求值表格
拥有相同无穷极限的函数

这样的函数存在无限个

求无穷极限函数的商
  • 可以通过观察变化率大的部分(dominate term)得出结论,比如多项式的高次部分。
  • 需要注意正负号对函数的影响
  • 带根号函数时,需要考虑 $x$ 为正负的情况。通常将开方结果视为 $|x|$(如果去除根号后还带有偶数次方,则不用考虑)

IVT

  • IVT 针对的是闭区间
  • 前提是函数在指定区间连续