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cg:books:3dprimer_2:chpt_2 [2021/09/01 10:31] – [叉乘的几何解释] codinghare | cg:books:3dprimer_2:chpt_2 [2021/09/02 09:26] – [求已知向量的平行/垂直分量] codinghare | ||
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行 135: | 行 135: | ||
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可以看出来的是,点乘结果的方向始终是被投影的向量一致的。而当参与点乘的两个向量方向一致的时候,也就是向量求自身在自身上的投影的时候,我们得到的结果实际上是向量本身的 magnitude,即:$$v \cdot v = ||v||$$ | 可以看出来的是,点乘结果的方向始终是被投影的向量一致的。而当参与点乘的两个向量方向一致的时候,也就是向量求自身在自身上的投影的时候,我们得到的结果实际上是向量本身的 magnitude,即:$$v \cdot v = ||v||$$ | ||
- | ==分量的互换== | + | ==求已知向量的平行/ |
假设有单位向量 $\hat a$,任意长度的向量 $b$,用 perp 表示 $b$ 在竖直上的分量,para 表示 $b$ 在水平上的分量。根据前面提到的推论,则有: | 假设有单位向量 $\hat a$,任意长度的向量 $b$,用 perp 表示 $b$ 在竖直上的分量,para 表示 $b$ 在水平上的分量。根据前面提到的推论,则有: | ||
$$b_{para} = \hat a \cdot b = (\hat a \cdot b) \cdot \hat a$$ | $$b_{para} = \hat a \cdot b = (\hat a \cdot b) \cdot \hat a$$ | ||
行 141: | 行 141: | ||
$$b_{perp} = b - b_{para} = b-(\hat a \cdot b) \cdot \hat a$$ | $$b_{perp} = b - b_{para} = b-(\hat a \cdot b) \cdot \hat a$$ | ||
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+ | <WRAP center round info 100%> | ||
+ | 这一小节实际上是在利用点乘的性质来求已知向量的平行/ | ||
+ | 得到该分量后,因为向量可以通过自身的水平分量和垂直分量相加得到(三角形法则),因此垂直分量只需要用向量减去水平分量即可。 | ||
+ | </ | ||
+ | |||
==点乘的第二种几何解释== | ==点乘的第二种几何解释== | ||
假设有单位向量 $\hat a$ 与 $\hat b$,且夹角为 $\theta$,根据点乘的投影解释,可以构造出一个三角形如下图: | 假设有单位向量 $\hat a$ 与 $\hat b$,且夹角为 $\theta$,根据点乘的投影解释,可以构造出一个三角形如下图: | ||
行 169: | 行 174: | ||
Cross product | Cross product | ||
{{ : | {{ : | ||
+ | 新向量的 magnitude 按如下公式计算: | ||
+ | $$||a \times b||=||a||||b||sin\theta$$ | ||
+ | 有意思的是,该结果正好等于 a、b 按平行四边形法则形成的四边形的面积: | ||
+ | {{ : | ||
+ | 假设 b 为底,那么 高 $h=||a||sin\theta$,面积的计算结果为 $||b||\cdot||a||sin\theta$,与之前的叉乘的结果正好符合。\\ \\ | ||
+ | 当 a、b 平行的时候,$sin\theta = sin(0) = 0$,因此两个平行向量的叉乘结果为一个**零向量**。几何上来说,因为零向量垂直于任意向量,因此可以解释该代数计算结果。 | ||
+ | ==叉乘结果的方向== | ||
+ | 叉乘结果的方向根据坐标系的不同会有不同的计算方式。一般的方法是将参与运算的第二向量的尾部至于第一向量的头部,通过该方式来判断第一向量的旋转方向。在**左手坐标系**中: | ||
+ | * 如果是**顺时针**方向,叉乘结果**指向我们自己** | ||
+ | * 如果是**逆时针**方向,叉乘结果**指向屏幕里边** | ||
+ | **右手坐标系的结果与上述的结果完全相反**。 | ||
+ | {{ : | ||
+ | 如果指定 $\vec{x}, | ||
+ | {{ : | ||
+ | ===向量运算的性质=== | ||
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