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cg:books:3dprimer_2:chpt_2 [2021/09/01 10:46] – [叉乘的几何解释] codinghare | cg:books:3dprimer_2:chpt_2 [2021/12/16 13:07] (当前版本) – [Vectors] codinghare | ||
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行 1: | 行 1: | ||
======Vectors====== | ======Vectors====== | ||
//3D math primer chapter 2// | //3D math primer chapter 2// | ||
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Vector 在数学上和物理上有不同的解释。数学上强调向量是一组数字,物理上强调向量是一个几何实体,并在尽可能的避免用坐标系去表述向量。 | Vector 在数学上和物理上有不同的解释。数学上强调向量是一组数字,物理上强调向量是一个几何实体,并在尽可能的避免用坐标系去表述向量。 | ||
====向量的数学定义==== | ====向量的数学定义==== | ||
行 135: | 行 135: | ||
{{ : | {{ : | ||
可以看出来的是,点乘结果的方向始终是被投影的向量一致的。而当参与点乘的两个向量方向一致的时候,也就是向量求自身在自身上的投影的时候,我们得到的结果实际上是向量本身的 magnitude,即:$$v \cdot v = ||v||$$ | 可以看出来的是,点乘结果的方向始终是被投影的向量一致的。而当参与点乘的两个向量方向一致的时候,也就是向量求自身在自身上的投影的时候,我们得到的结果实际上是向量本身的 magnitude,即:$$v \cdot v = ||v||$$ | ||
- | ==分量的互换== | + | ==求已知向量的平行/ |
假设有单位向量 $\hat a$,任意长度的向量 $b$,用 perp 表示 $b$ 在竖直上的分量,para 表示 $b$ 在水平上的分量。根据前面提到的推论,则有: | 假设有单位向量 $\hat a$,任意长度的向量 $b$,用 perp 表示 $b$ 在竖直上的分量,para 表示 $b$ 在水平上的分量。根据前面提到的推论,则有: | ||
$$b_{para} = \hat a \cdot b = (\hat a \cdot b) \cdot \hat a$$ | $$b_{para} = \hat a \cdot b = (\hat a \cdot b) \cdot \hat a$$ | ||
行 141: | 行 141: | ||
$$b_{perp} = b - b_{para} = b-(\hat a \cdot b) \cdot \hat a$$ | $$b_{perp} = b - b_{para} = b-(\hat a \cdot b) \cdot \hat a$$ | ||
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+ | <WRAP center round info 100%> | ||
+ | 这一小节实际上是在利用点乘的性质来求已知向量的平行/ | ||
+ | 得到该分量后,因为向量可以通过自身的水平分量和垂直分量相加得到(三角形法则),因此垂直分量只需要用向量减去水平分量即可。 | ||
+ | </ | ||
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==点乘的第二种几何解释== | ==点乘的第二种几何解释== | ||
假设有单位向量 $\hat a$ 与 $\hat b$,且夹角为 $\theta$,根据点乘的投影解释,可以构造出一个三角形如下图: | 假设有单位向量 $\hat a$ 与 $\hat b$,且夹角为 $\theta$,根据点乘的投影解释,可以构造出一个三角形如下图: | ||
行 176: | 行 181: | ||
当 a、b 平行的时候,$sin\theta = sin(0) = 0$,因此两个平行向量的叉乘结果为一个**零向量**。几何上来说,因为零向量垂直于任意向量,因此可以解释该代数计算结果。 | 当 a、b 平行的时候,$sin\theta = sin(0) = 0$,因此两个平行向量的叉乘结果为一个**零向量**。几何上来说,因为零向量垂直于任意向量,因此可以解释该代数计算结果。 | ||
==叉乘结果的方向== | ==叉乘结果的方向== | ||
+ | 叉乘结果的方向根据坐标系的不同会有不同的计算方式。一般的方法是将参与运算的第二向量的尾部至于第一向量的头部,通过该方式来判断第一向量的旋转方向。在**左手坐标系**中: | ||
+ | * 如果是**顺时针**方向,叉乘结果**指向我们自己** | ||
+ | * 如果是**逆时针**方向,叉乘结果**指向屏幕里边** | ||
+ | **右手坐标系的结果与上述的结果完全相反**。 | ||
+ | {{ : | ||
+ | 如果指定 $\vec{x}, | ||
+ | {{ : | ||
+ | ===向量运算的性质=== | ||
+ | {{ : | ||
+ | ====Refs==== | ||
+ | * [[https:// |