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| cg:books:3dprimer_2:chpt_2 [2021/09/01 10:33] – [叉乘的几何解释] codinghare | cg:books:3dprimer_2:chpt_2 [2021/12/16 13:07] (当前版本) – [Vectors] codinghare | ||
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| 行 1: | 行 1: | ||
| ======Vectors====== | ======Vectors====== | ||
| //3D math primer chapter 2// | //3D math primer chapter 2// | ||
| - | ===== | + | ---- |
| Vector 在数学上和物理上有不同的解释。数学上强调向量是一组数字，物理上强调向量是一个几何实体，并在尽可能的避免用坐标系去表述向量。 | Vector 在数学上和物理上有不同的解释。数学上强调向量是一组数字，物理上强调向量是一个几何实体，并在尽可能的避免用坐标系去表述向量。 | ||
| ====向量的数学定义==== | ====向量的数学定义==== | ||
| 行 135: | 行 135: | ||
| {{ : | {{ : | ||
| 可以看出来的是，点乘结果的方向始终是被投影的向量一致的。而当参与点乘的两个向量方向一致的时候，也就是向量求自身在自身上的投影的时候，我们得到的结果实际上是向量本身的 magnitude，即：$$v \cdot v = ||v||$$ | 可以看出来的是，点乘结果的方向始终是被投影的向量一致的。而当参与点乘的两个向量方向一致的时候，也就是向量求自身在自身上的投影的时候，我们得到的结果实际上是向量本身的 magnitude，即：$$v \cdot v = ||v||$$ | ||
| - | ==分量的互换== | + | ==求已知向量的平行/ |
| 假设有单位向量 $\hat a$，任意长度的向量 $b$，用 perp 表示 $b$ 在竖直上的分量，para 表示 $b$ 在水平上的分量。根据前面提到的推论，则有： | 假设有单位向量 $\hat a$，任意长度的向量 $b$，用 perp 表示 $b$ 在竖直上的分量，para 表示 $b$ 在水平上的分量。根据前面提到的推论，则有： | ||
| $$b_{para} = \hat a \cdot b = (\hat a \cdot b) \cdot \hat a$$ | $$b_{para} = \hat a \cdot b = (\hat a \cdot b) \cdot \hat a$$ | ||
| 行 141: | 行 141: | ||
| $$b_{perp} = b - b_{para} = b-(\hat a \cdot b) \cdot \hat a$$ | $$b_{perp} = b - b_{para} = b-(\hat a \cdot b) \cdot \hat a$$ | ||
| \\ \\ | \\ \\ | ||
| + | <WRAP center round info 100%> | ||
| + | 这一小节实际上是在利用点乘的性质来求已知向量的平行/ | ||
| + | 得到该分量后，因为向量可以通过自身的水平分量和垂直分量相加得到（三角形法则），因此垂直分量只需要用向量减去水平分量即可。 | ||
| + | </ | ||
| + | |||
| ==点乘的第二种几何解释== | ==点乘的第二种几何解释== | ||
| 假设有单位向量 $\hat a$ 与 $\hat b$，且夹角为 $\theta$，根据点乘的投影解释，可以构造出一个三角形如下图： | 假设有单位向量 $\hat a$ 与 $\hat b$，且夹角为 $\theta$，根据点乘的投影解释，可以构造出一个三角形如下图： | ||
| 行 171: | 行 176: | ||
| 新向量的 magnitude 按如下公式计算： | 新向量的 magnitude 按如下公式计算： | ||
| $$||a \times b||=||a||||b||sin\theta$$ | $$||a \times b||=||a||||b||sin\theta$$ | ||
| + | 有意思的是，该结果正好等于 a、b 按平行四边形法则形成的四边形的面积： | ||
| + | {{ : | ||
| + | 假设 b 为底，那么 高 $h=||a||sin\theta$，面积的计算结果为 $||b||\cdot||a||sin\theta$，与之前的叉乘的结果正好符合。\\ \\ | ||
| + | 当 a、b 平行的时候，$sin\theta = sin(0) = 0$，因此两个平行向量的叉乘结果为一个**零向量**。几何上来说，因为零向量垂直于任意向量，因此可以解释该代数计算结果。 | ||
| + | ==叉乘结果的方向== | ||
| + | 叉乘结果的方向根据坐标系的不同会有不同的计算方式。一般的方法是将参与运算的第二向量的尾部至于第一向量的头部，通过该方式来判断第一向量的旋转方向。在**左手坐标系**中： | ||
| + | * 如果是**顺时针**方向，叉乘结果**指向我们自己** | ||
| + | * 如果是**逆时针**方向，叉乘结果**指向屏幕里边** | ||
| + | **右手坐标系的结果与上述的结果完全相反**。 | ||
| + | {{ : | ||
| + | 如果指定 $\vec{x}, | ||
| + | {{ : | ||
| + | ===向量运算的性质=== | ||
| + | {{ : | ||
| + | ====Refs==== | ||
| + | * [[https:// | ||