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cs:comp_n_arch:courses:fnti_i:week_2 [2025/04/03 14:07] – [Half Adder] codingharecs:comp_n_arch:courses:fnti_i:week_2 [2025/04/04 14:49] (当前版本) – [实例：Hack ALU] codinghare
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   * ''-0'' 的定义，它与 ''0'' 的区别无法解释   * ''-0'' 的定义，它与 ''0'' 的区别无法解释
   * 加减法无法处理。比如 ''1 + (-1)''，也就是 ''001 + 101'', 结果是 ''110''，为 ''-2'', 不是 ''0''   * 加减法无法处理。比如 ''1 + (-1)''，也就是 ''001 + 101'', 结果是 ''110''，为 ''-2'', 不是 ''0''
 +===2's Complement（补码）===
 +这种方式下，所有的负数都用 bits 可以表示数字的总数来减去负数对应的整数，即：
 +$$2^n-x$$
 +比如：
 +<code CIL>
 +// 4 bits, total numbers: 2^4 = 16
 + 3 -> 0011
 +// decimal
 +-3 -> 16 - 3 = 13 -> 2^3 + 2^2 + 2^0 -> 1101
 +</code>
 +这种情况下，正数的表达范围为 $[0, 2^{n-1} - 1]$，负数的表达范围为 $[-1, -2^{n-1}]$
 +==补码的优势==
 +使用补码表示负数可以将负数的加法（减法）转化为加法：
 +\\ \\ 
 +{{ :cs:comp_n_arch:courses:fnti_i:2s_complement_add_neg.jpg?250 |,}}
 +根据上面的例子，这个过程分为了三步：
 +  - 求出负数的补码结果（正数，比如 $-2 = 16 - 2 = 14$）
 +  - 将得到的正数转换为二级制相加
 +  - 当存在 overflow 时，溢出位将被自动丢弃，比如此处 $14+13=27$，丢弃溢出位后结果为 $27-16 = 11$
 +  - $11$ 是以补码形式，根据公式，负数的表现形式为：$2^4 - positiveNumber = 11$。可以得到正数的值为 $5$，因此 $11$ 对应的负数为 $-5$
 +===计算 -x===
 +上面计算负数的过程是将二进制转化为十进制来进行的。实际上，利用补码公式的变形，就可以很轻松的用二进制直接计算负数：
 +$$
 +2^n-x = 1 +(2^n-1) -x
 +$$
 +观察一下上面的变形，可以发现：
 +<code CIL>
 +1 -> 1
 +2^n - 1 -> 11111....1111
 +</code>
 +那么也就是说，$-x$ 的实际结果，等于所有 bits 都是 $1$ 的数减去 $x$ 对应的二进制，再加上一。比如 $-2$，如果以 4 bits 的
 +二进制表示，就是：
 +<code CIL>
 +16 - 2
 +-> 15 - 2 + 1
 +-> 1111 - 0010 + 1
 +-> 1101 + 1
 +-> 1110
 +</code>
 +从形式上来看，$x$ 的负数结果实际上是直接将 $x$ 的二进制**按位翻转**后再**加上一**得到的。
 +====Arithmetic Logic Unit====
 +//Arithmetic Logic Unit// (ALU) 在冯诺依曼架构中充当了很重要的角色。具体的来说：
 +  * ALU 扮演的是函数的角色，也就是接受输入，然后按指定的方法计算结果的的计算单元。
 +  * ALU 对应的函数是**提前定义**的，**算术**或**逻辑**运算的一种（或是这两者的组合）
 +<WRAP center round box 100%>
 +ALU 的设计在硬件和软件中均可实现。硬件实现下，ALU 的速度会更快，但成本会更高。
 +</WRAP>
 +===实例：Hack ALU===
 +本课例子（HACK ALU）：
 +  * 接收两个 16 bits 的输入
 +  * 得到一个 16 bits 的输出和两个 1 bits 的输出。
 +  * 实现了一系列的（总共18个）**基础**函数
 +  * 调用哪个函数通过结构图正上方的 6 个 1 bit 的输入来决定。
 +其结构图如下：
 +\\ \\ 
 +{{ :cs:comp_n_arch:courses:fnti_i:hack_alu.jpg?300 |}}
 +\\ 
 +==控制位与 16bits 输出位的真值表==
  • 最后更改: 2025/04/03 14:07
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