# 极限 Limits / 连续 Continuity

### 极限是什么？

#### 左极限和右极限

Suppose $f(x)$ gets really close to $R$ for values of $x$ that get really close to (but are not equal to) a from the right. Then we say $R$ is the right-hand limit of the function $f(x)$ as $x$ approaches $a$ from the right.

If $f(x)$ gets really close to $L$ for values of $x$ that get really close to (but are not equal to) a from the left, we say that $L$ is the left-hand limit of the function $f(x)$ as $x$ approaches a from the left.

### 极限的定义

For all $ε>0$, there exists some $δ>0$ such that if $0<|x-a|<δ$, then $|f(x)-L|<ε$.

#### ε和δ

• $ε$ 描述 $f(x)$ 离 $L$ 有多近。
• $δ$ 描述 $x$ 离 $a$ 有多近。

1. 首先距离肯定是大于 0 的，所以公式中有 $ε>0$, $δ>0$ 这样的限制。
2. 其次，$0<|x-a|<δ$，表明了 $x$ 和 $a$ 之间的距离总是小于 $δ$ 的。
3. 再次，$|f(x)-L|<ε$ 表示 $f(x)$ 和 $L$ 之间的距离，也总是小于 $ε$ 的。

1. 我们要推举 $L$ 做为 $f(x)$ 在 $a$ 点的极限！
2. 凭什么？我告诉你，$L$ 和 $f(x)$ 的关系近的也比不了！
3. 不信？ 那好，你觉得他俩距离有多大？你来随便定义一个上限 $ε$ ！多小都行！
4. 不管你怎么定，我都能找到离点 $a$ 超级近的 $x$ 来满足 $f(x)$! $δ$ 是啥？是 $x$ 到 $a$ 距离的上限！什么? 具体是多少？你管得着吗？

#### 领域和去心领域

$$(|x-a|<δ) \rightarrow (a-δ<x<a+δ)$$

### 连续

• 如果 $\displaystyle {\lim _{x\rightarrow a^+} f(x) } = f(a)$，那么我们称 $f(x)$ 在 $a$ 点右连续。
• 如果 $\displaystyle {\lim _{x\rightarrow a^-} f(x) } = f(a)$，那么我们称 $f(x)$ 在 $a$ 点左连续。

#### 介值定理

If f is a function which is continuous on the interval $[a,b]$, and $M$ lies between the values of $f(a)$ and $f(b)$, then there is at least one point $c$ between $a$ and $b$ such that $f(c)=M$.

### 极限的几个注意点

• 起点：$x$、$f(x)$一定是一个离目标非常近的位置。
• 目标：无限逼近 $L$, $a$。
• 方式：单调性或者震荡性。$f(x)$ 可能会单调的逼近（比如一次函数）或者震荡的逼近（比如$sin$），而 $x$ 一定是单调逼近的。

### 极限的运算法则

• $\displaystyle {\lim _{x\rightarrow a} \left[f(x)+g(x)\right] }$ $=$ $L+M$：和的极限是极限的和。
• $\displaystyle {\lim _{x\rightarrow a} \left[f(x)-g(x)\right] }$ $=$ $L-M$：差的极限是极限的差。
• $\displaystyle {\lim _{x\rightarrow a} \left[f(x)\cdot g(x)\right] }$ $=$ $L\cdot M$：乘积的极限是极限的乘积。

1. 如果 $M \ne 0$, 则 $\displaystyle { \lim _{x\rightarrow a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{L}{M}}$
2. 如果 $M=0$ 但 $L \ne 0$, 则 $\displaystyle {\lim _{x\rightarrow a} \frac{f(x)}{g(x)}}$ 不存在（DNE）。
3. 如果$M=0$ 且 $L=0$, 则 $\displaystyle {\lim _{x\rightarrow a} \frac{f(x)}{g(x)}}$ 可能存在，也可能不存在，需要进一步的判断（比如对多项式做因式分解）。

### 查漏补缺

1. 有理数函数的极限会因为函数的取值不同而表现出三种状态：Vertical Asymptotes / Removable Discontinuity / 0。如何通过 $x$ 来判断？

• 如果 $x$ 的值导致分母为 0，则是 Vertical Asymptotes
• 如果因式分解后 $x$ 的值导致分子分母有共同部分被除，那么就是 Removable Discontinuity
• 如果 $x$ 只导致分母为 0， 则是 0