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理解极限其实应该从无穷数列开始的。

我们在高中的时候见过不少的无穷数列。其中的一些无穷数列收敛于一个实数 $L$。我们通常把 $L$ 称为该数列的极限。

而数列本身可以看做是自然数到实数 $N \to L$ 的一个函数；因此我们就可以把极限的概念从数列转到函数上：当函数的自变量 $n$ 趋近于 $\infty^+$ 的时候，$f(n)$的值无限趋近于 $L$。

在刚提到的无穷数列所表达的函数中， 数列函数的自变量 $n$ 是无限趋近于 $\infty^+$ 的。我们来试想一下如果 $n$ 的值无限趋近于一个数列上某一个点 $a$ 的情况下，那么函数的极限又会怎么样呢？

结果很好猜测。我们把 $a$ 代入函数，得到的结果是 $f(a)$。因此不难得出，当 $n \to a$ 的时候，是有 $f(x) \rightarrow f(n)$的。

看起来好像 $f(n)$ 应该是数列在 $a$ 点的极限了。没错，不过这里又有另外一个问题。在数列中，我们的 $n$ 到底是在 $a$ 的左边还是右边？这两种可能性导致了我们需要考虑两种情况：$n$ 从左边或者右边无限趋近于 $a$，也就是说，我们的 $f(n)$ 也有两种情况，即在 $a$ 的左边或者右边。因此，对数列上的一个点我们实际上有两个极限：左极限和右极限。

根据上面的推理我们可以描述一下左极限和右极限的定义：

右极限可以被定义为：

Suppose $f(x)$ gets really close to $R$ for values of $x$ that get really close to (but are not equal to) a from the right. Then we say $R$ is the right-hand limit of the function $f(x)$ as $x$ approaches $a$ from the right.

记做：$\displaystyle {\lim _{x\rightarrow \mathbf{a^+}} f(x) = R}$

左极限的定义类似：

If $f(x)$ gets really close to $L$ for values of $x$ that get really close to (but are not equal to) a from the left, we say that $L$ is the left-hand limit of the function $f(x)$ as $x$ approaches a from the left.

记做：$\displaystyle {\lim _{x\rightarrow \mathbf{a^-}} f(x) = L}.$

判断一个极限是否存在，首先要明白：函数 $f(x)$ 在 $a$ 点的极限，指的是当 $x$ 从左右同时趋近于 $a$ 时的极限。因为极限是唯一的；因此，我们可以做出这样的判断：只有当 $f(x)$ 在 $a$ 点的左极限和右极限存在且相等时候，我们才说，函数的极限存在。

我们也来看看正式的数学定义：

For all $ε>0$, there exists some $δ>0$ such that if $0<|x-a|<δ$, then $|f(x)-L|<ε$.

来看看这个公式里都有什么新的：$ε$, $δ$。这两个量，其实在这里都是表示我离别人有多近：

• $ε$ 描述 $f(x)$ 离 $L$ 有多近。
• $δ$ 描述 $x$ 离 $a$ 有多近。

我们不是总说 $x$ 无线趋近于 $a$吗？无限趋近不是等于，那总得有个量来表示 $x$ 和 $a$ 之间，或者 $f(x)$ 和其在 $a$ 点极限之间的距离吧？所以引入了这两个量。

有了距离还不够，我们要怎么表示这个距离是非常非常非常近的（无限趋近于）？我们来看看：

1. 首先距离肯定是大于 0 的，所以公式中有 $ε>0$, $δ>0$ 这样的限制。
2. 其次，$0<|x-a|<δ$，表明了 $x$ 和 $a$ 之间的距离总是小于 $δ$ 的。
3. 再次，$|f(x)-L|<ε$ 表示 $f(x)$ 和 $L$ 之间的距离，也总是小于 $ε$ 的。

连起来读一遍，其实就是公式夸下的海口啦：

1. 我们要推举 $L$ 做为 $f(x)$ 在 $a$ 点的极限！
2. 凭什么？我告诉你，$L$ 和 $f(x)$ 的关系近的也比不了！
3. 不信？ 那好，你觉得他俩距离有多大？你来随便定义一个上限 $ε$ ！多小都行！
4. 不管你怎么定，我都能找到离点 $a$ 超级近的 $x$ 来满足 $f(x)$! $δ$ 是啥？是 $x$ 到 $a$ 距离的上限！什么? 具体是多少？你管得着吗？

从上面可以看出来，这个定义实际上就是想描述当 $x$ 无限趋近于 $a$ 时， $f(x)$ 无限趋近于的实数 $L$ 就是 $f(x)$ 在点 $a$ 的极限，而极限 $L$ 和 $f(x)$ 的关系也同样表示为 $f(x) \to L$。

我们可以推导一下 $x$ 的限定条件：

$$(|x-a|<δ) \rightarrow (a-δ<x<a+δ)$$
这意味着 $x$ 实际上是处于 $(a-δ, a+δ)$ 这个区间的。对，$δ$ 就是用来形容这个区间的。为什么要有这个区间？因为我们不能保证函数定义域中所有的 $x$ 都能满足让 $f(x) \to L$。至于 $δ$ ，我们并不用关心 $δ$ 的具体数值是多大，只用知道只要有足够小的 $δ$ 存在，$f(x)$ 的极限就是存在的。

我们也需要考虑一种情况：当 $a$ 不存在的时候，上面的极限还存在吗？

当然了。极限是否存在是根据左右极限是否存在且相等来判断的，$a$ 点是否存在对极限并没有直接的影响。因此，我们刚才的定义域也可以直接写成： $(a-δ, a)∪(a, a+δ)$。到此可知，极限的定义域是可以不包括点 $a$ 的。

刚才我们讨论过 $a$ 是否存在（ $x$ 是否取 $a$，也就是 $f(x)$ 是否等于 $f(a)$ 的问题）。而当在 $x=a$ 的时候，如果有 $\displaystyle {\lim _{x\rightarrow a} f(x) } = f(a)$，则我们称函数 $f(x)$ 在点 $a$ 处连续（Continuous）。连续也分左右：

• 如果 $\displaystyle {\lim _{x\rightarrow a^+} f(x) } = f(a)$，那么我们称 $f(x)$ 在 $a$ 点右连续。
• 如果 $\displaystyle {\lim _{x\rightarrow a^-} f(x) } = f(a)$，那么我们称 $f(x)$ 在 $a$ 点左连续。

我们从上可以看出，如果一个函数是连续的，那么计算这个函数在某一点的极限是极其方便的。

常见的连续函数有：所有的多项式，$\cos x$ 和 $\sin x$，$a^x$ 当 $a > 0$，$\sqrt [3]{x}$，$|x|$。

带条件的常见连续函数有：$\log _{a} x$ 当 $a > 0$、$x > 0$；$\tan x$ 在所有定义过的 $x$ 上；$\sqrt {x}$ 当 $x>0$。

当然，如果$\displaystyle {\lim _{x\rightarrow a} f(x) }$ 或者 $f(a)$ 不存在，那么很显然 $f(x)$ 在 $a$ 点是不连续的。而不连续（Discontinuity）大概分两种种类：Jump discontinuity 和 Removable discontinuity 。

如果 $f(x)$ 在点 $a$ 的左右极限都存在但是不相等，我们就称 $f(x)$ 在点 $a$ 是 Jump discontinuity。


如果 $f(x)$ 在点 $a$ 的左右极限都存在且相等，但 $f(a)$ 不存在，我们就称 $f(x)$ 在点 $a$ 是 Removable discontinuity。

介值定理（Intermediate Value Theorem）的定理如下：

If f is a function which is continuous on the interval $[a,b]$, and $M$ lies between the values of $f(a)$ and $f(b)$, then there is at least one point $c$ between $a$ and $b$ such that $f(c)=M$.

这个定理很好理解：函数的自变量范围确定，因变量范围确定，那么在这个范围里的自变量和因变量肯定能找出对应关系。

我们通常可以将因变量设置为 0, 这样函数就成为了一个方程了。而介值定理的一大用处就是可以判断一个连续函数在其有效区间内是否有根。

不过需要注意的是，介值定理必须只能应用于连续的函数上，而介值定理也只能判定根的存在性，并不能判定根的具体数量。

上述定义实际上只讲明了一个重点，趋向的结果。实际上，我们应该把极限看做一个过程，而不是一个结果。

一个极限实际上描述了三个阶段：趋向的起点，趋向的目标，趋向的方式。

• 起点：$x$、$f(x)$一定是一个离目标非常近的位置。
• 目标：无限逼近 $L$, $a$。
• 方式：单调性或者震荡性。$f(x)$ 可能会单调的逼近（比如一次函数）或者震荡的逼近（比如$sin$），而 $x$ 一定是单调逼近的。

极限可以做 +、-、*、/ 运算。

假设我们有：$\displaystyle {\lim _{x\rightarrow a} f(x) = L}$，$\displaystyle {\lim _{x\rightarrow a} g(x) = M}:$，则：

• $\displaystyle {\lim _{x\rightarrow a} \left[f(x)+g(x)\right] }$ $=$ $L+M$：和的极限是极限的和。
• $\displaystyle {\lim _{x\rightarrow a} \left[f(x)-g(x)\right] }$ $=$ $L-M$：差的极限是极限的差。
• $\displaystyle {\lim _{x\rightarrow a} \left[f(x)\cdot g(x)\right] }$ $=$ $L\cdot M$：乘积的极限是极限的乘积。

极限的商分好几种情况：

1. 如果 $M \ne 0$, 则 $\displaystyle { \lim _{x\rightarrow a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{L}{M}}$
2. 如果 $M=0$ 但 $L \ne 0$, 则 $\displaystyle {\lim _{x\rightarrow a} \frac{f(x)}{g(x)}}$ 不存在（DNE）。
3. 如果$M=0$ 且 $L=0$, 则 $\displaystyle {\lim _{x\rightarrow a} \frac{f(x)}{g(x)}}$ 可能存在，也可能不存在，需要进一步的判断（比如对多项式做因式分解）。

1. 有理数函数的极限会因为函数的取值不同而表现出三种状态：Vertical Asymptotes / Removable Discontinuity / 0。如何通过 $x$ 来判断？
答：

• 如果 $x$ 的值导致分母为 0，则是 Vertical Asymptotes
• 如果因式分解后 $x$ 的值导致分子分母有共同部分被除，那么就是 Removable Discontinuity。
• 如果 $x$ 只导致分母为 0， 则是 0。