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| math:calculus:mooc:khan:limit_continuity [2022/06/18 15:11] – [infinite limit] codinghare | math:calculus:mooc:khan:limit_continuity [2025/03/27 11:18] (当前版本) – 移除 codinghare | ||
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| 行 1: | 行 1: | ||
| - | ======Limits and continuity====== | ||
| - | //khan Calculus tips// | ||
| - | ---- | ||
| - | ====Limits==== | ||
| - | ===Formal definition of limits=== | ||
| - | 极限的定义如下： | ||
| - | >// | ||
| - | >//For all $\varepsilon >0,$ there exists some $\delta > 0$ such that if $0 < |x-c| < \delta ,$ then $|f(x)-L| < \varepsilon .$// | ||
| - | ==相关意义== | ||
| - | 这一段定义实际上想说的是一件事： | ||
| - | * 我有一个函数 $f(x)$ | ||
| - | * 假设 $x$ 轴上有一点 $c$ | ||
| - | * 当我在在 $x$ 上无限趋近与 $c$ 时，总能使得 $f(x)$ 无限趋近一个值（点），那这个值就是 $f(x)$ 在点 $c$ 处的极限值（记作 $L$） | ||
| - | 然后，定义把这个无限趋近以距离的方式描述了出来： | ||
| - | * $x$ 到 $c$ 的距离：$|x-c|$ | ||
| - | * $f(x)$ 到 值为 $L$ 点的距离 $|f(x) -L|$ | ||
| - | 现在，我们用 $\delta$ 与 $\varepsilon$ 分别表示 $x$ 到 $c$ 以及 $f(x)$ 到 $L$ 的距离。也就是说，如果对于任意 | ||
| - | ==关于使用定义证明极限是否存在== | ||
| - | 这实际上是需要证明 | ||
| - | $$\lim_{x \to 5}2x = 10$$ | ||
| - | 根据极限的定义，$L$ 为 10，那么有 | ||
| - | $$|2x - 10| < | ||
| - | 此时 $|x - 5|< | ||
| - | 那么根据之前的不等式，可以推出，只要满足下面的关系，那么极限 $L=10$ 就是存在的： | ||
| - | $$2\delta = \varepsilon$$ | ||
| - | 至此关系找到，因此极限存在。 | ||
| - | ===Limit properties=== | ||
| - | * 函数的和/ | ||
| - | ==复合函数的处理== | ||
| - | * 当内外函数极限都存在时，复合函数的极限存在等价式：$\displaystyle \lim_{x \to a}f(g(x)) = f( \lim_{x \to a}(g(x))$，该等价的存在前提是 $ \displaystyle\lim_{x \to a}g(x)$ **存在**。 | ||
| - | * 当内部函数 $g(x)$ 的极限不存在时，不能直接推断出$f(g(x))$ 的极限不存在，而是要对 $f(g(x))$ 的左右极限进行计算看是否相等。 | ||
| - | * 当外部函数 $f(x)$ 的极限不存在时，需要注意 $g(x)$ 的逼近方向。如果 $g(x)$ 的左右极限都是**从同一个方向逼近极限值时**（比如图像上，$g(x)$ 的左右极限都从小于极限值的方向趋近于极限值），$f(g(x))$ 的极限是很可能存在的；表现的形式是当 $g(x)$ 趋近其极限时，$f(g(x)$ 的左右极限的趋近方式相同，因此计算出的结果也相同，极限存在。 | ||
| - | ==替换法求极限== | ||
| - | * 连续函数 $f(x)$在点 $a$ 的极限等于 $f(a)$ | ||
| - | * 如果点 $a$ 不处于三角函数的定义域中，那么该点的极限大概率不存在 | ||
| - | * $f(x)$ 有绝对值部分的时候可以进行函数分段处理 | ||
| - | ==求极限的总体步骤== | ||
| - | {{ : | ||
| - | ==Squeeze theorem== | ||
| - | $$ | ||
| - | \begin{array}{c} | ||
| - | \displaystyle | ||
| - | if \, | ||
| - | \displaystyle \lim_{x \to a} f(x) = L \,\, and\,\, \lim_{x \to a} f(x) = L\\ \\ | ||
| - | \Rightarrow \displaystyle \lim_{x \to a} g(x) = L | ||
| - | \end{array}$$ | ||
| - | ====Continuity==== | ||
| - | * 定义：点 $c$ 处的极限等于 f(c) | ||
| - | |||
| - | ===Types of discontinuities=== | ||
| - | * Removable | ||
| - | * Jump | ||
| - | * asymptotic | ||
| - | ===添加 continuity 的点=== | ||
| - | 题目的意思是求全方程上的不连续点的值。这种题通过简化方程，再将未定义点带入简化方程计算即可。可用的手段： | ||
| - | * Factoring | ||
| - | * rationalizaion | ||
| - | ===infinite limit=== | ||
| - | * 当左极限和右极限同时趋近同一个方向的无限时，称该极限趋近于无穷，记做：$\displaystyle \lim_{x\to a}f(x) \pm \infty$ | ||
| - | * 此类极限存在的条件与一般极限一致，也是要左右极限相等，因此左右极限符号不同时此类极限不存在 | ||