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math:calculus:mooc:khan:limit_continuity [2022/06/19 14:54] – [IVT] codingharemath:calculus:mooc:khan:limit_continuity [2025/03/27 11:18] (当前版本) – 移除 codinghare
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-======Limits and continuity====== 
-//khan Calculus tips// 
----- 
-====Limits==== 
-===Formal definition of limits=== 
-极限的定义如下： 
->//Formally, the statement lim⁡x→cf(x)=L\displaystyle {\lim _{x\rightarrow c} f(x) = L} is defined as:// 
->//For all ε>0,\varepsilon >0, there exists some δ>0\delta > 0 such that if 0<∣x−c∣<δ,0 < |x-c| < \delta , then  ∣f(x)−L∣<ε.|f(x)-L| < \varepsilon .// 
-==相关意义== 
-这一段定义实际上想说的是一件事： 
-  * 我有一个函数 f(x)f(x) 
-  * 假设 xx 轴上有一点 cc 
-  * 当我在在 xx 上无限趋近与 cc 时，总能使得 f(x)f(x) 无限趋近一个值（点），那这个值就是 f(x)f(x) 在点 cc 处的极限值（记作 LL） 
-然后，定义把这个无限趋近以距离的方式描述了出来： 
-  * xx 到 cc 的距离：∣x−c∣|x-c| 
-  * f(x)f(x) 到 值为 LL 点的距离 ∣f(x)−L∣|f(x) -L| 
-现在，我们用 δ\delta 与 ε\varepsilon 分别表示 xx 到 cc 以及 f(x)f(x) 到 LL 的距离。也就是说，如果对于任意  δ\delta 都能找到对应的 ε\varepsilon 的话，那么 LL 就是 f(x)f(x) 在点 cc 处的极限。 
-==关于使用定义证明极限是否存在== 
-这实际上是需要证明  δ\delta 与 ε\varepsilon 存在一种函数上的关系，就是所谓的对于任意 δ\delta ，总能找到与之对应的 ε\varepsilon。实际上，只要关系建立了，那么极限的存在就被证明了。比如 Khan 的例子： 
-lim⁡x→52x=10\lim_{x \to 5}2x = 10 
-根据极限的定义，LL 为 10，那么有  
-$$|2x - 10| <\varepsilon$$ 
-此时 $|x - 5|<\delta，两边同时乘以2,有，两边同时乘以 2, 有 |2x-10| < 2\delta$ 
-那么根据之前的不等式，可以推出，只要满足下面的关系，那么极限 L=10L=10 就是存在的： 
-2δ= ε2\delta =  \varepsilon 
-至此关系找到，因此极限存在。 
-===Limit properties=== 
-  * 函数的和/差/积/商的极限计算的时候，子函数的极限可能会不存在；但只要是函数的**左极限和右极限**（子函数的单边极限的结果再进行运算）相等，那么极限就是可以计算出来的。 
-==复合函数的处理== 
-  * 当内外函数极限都存在时，复合函数的极限存在等价式：lim⁡x→af(g(x))=f(lim⁡x→a(g(x))\displaystyle \lim_{x \to a}f(g(x)) = f( \lim_{x \to a}(g(x))，该等价的存在前提是 lim⁡x→ag(x) \displaystyle\lim_{x \to a}g(x) **存在**。 
-  * 当内部函数 g(x)g(x) 的极限不存在时，不能直接推断出f(g(x))f(g(x)) 的极限不存在，而是要对 f(g(x))f(g(x)) 的左右极限进行计算看是否相等。 
-  * 当外部函数 f(x)f(x) 的极限不存在时，需要注意 g(x)g(x) 的逼近方向。如果 g(x)g(x) 的左右极限都是**从同一个方向逼近极限值时**（比如图像上，g(x)g(x) 的左右极限都从小于极限值的方向趋近于极限值），f(g(x))f(g(x)) 的极限是很可能存在的；表现的形式是当 g(x)g(x) 趋近其极限时，f(g(x)f(g(x) 的左右极限的趋近方式相同，因此计算出的结果也相同，极限存在。 
-==替换法求极限== 
-  * 连续函数 f(x)f(x)在点 aa 的极限等于 f(a)f(a) 
-  * 如果点 aa 不处于三角函数的定义域中，那么该点的极限大概率不存在 
-  * f(x)f(x) 有绝对值部分的时候可以进行函数分段处理 
-==求极限的总体步骤== 
-{{ :math:calculus:mooc:mit_1801_1x:find_limit.png?600 |}} 
-==Squeeze theorem== 
-$$ 
  
-\begin{array}{c} 
-\displaystyle 
-if \,\,\,f(x)\le g(x) \le h(x), \\ \\ 
-\displaystyle \lim_{x \to a} f(x) = L \,\, and\,\, \lim_{x \to a} f(x) = L\\ \\  
-\Rightarrow \displaystyle \lim_{x \to a} g(x) = L 
-\end{array}$$ 
-====Continuity==== 
-  * 定义：点 cc 处的极限等于 f(c) 
- 
-===Types of discontinuities=== 
-  * Removable 
-  * Jump 
-  * asymptotic  
-===添加 continuity 的点=== 
-题目的意思是求全方程上的不连续点的值。这种题通过简化方程，再将未定义点带入简化方程计算即可。可用的手段： 
-  * Factoring 
-  * rationalizaion 
-===infinite limit=== 
-  * 当左极限和右极限同时趋近同一个方向的无限时，称该极限趋近于无穷，记做：lim⁡x→af(x)±∞\displaystyle \lim_{x\to a}f(x) \pm \infty 
-  * 此类极限存在的条件与一般极限一致，也是要左右极限相等，因此左右极限符号不同时此类极限不存在 
-==asymptotes and limit== 
-  * vertical asymptote：这种图像一般是非零除以零的函数图像。由于符号问题，$x￥ 从左右逼近（分母为 0 时）会趋近正负无穷。 
-  * horizontal asymptote：这种情况一般是上面的函数图像，当 x→∞x \to \infty 时存在。当 xx 无穷大时，函数会无限逼近一个值。需要注意，这种情况下可能会有震荡（//Oscillation//）出现（比如函数中有周期函数的部分），这种情况下极限是不存在的。 
-==分析方法== 
-  * 简单的求值表格分析 
-  * 如果有周期函数 
-    * 画图 
-    * 求值表格 
-==拥有相同无穷极限的函数== 
-这样的函数存在无限个 
-==求无穷极限函数的商== 
-  * 可以通过观察变化率大的部分（//dominate term//）得出结论，比如多项式的高次部分。 
-  * 需要注意正负号对函数的影响 
-  * 带根号函数时，需要考虑 xx 为正负的情况。通常将开方结果视为 ∣x∣|x|（如果去除根号后还带有偶数次方，则不用考虑） 
-===IVT=== 
-  * IVT 针对的是**闭区间** 
-  * 前提是函数在指定区间**连续** 
  • 最后更改: 2022/06/19 14:54
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