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在生活中，我们常常需要求一些不规则的面积。找出这些面积的公式通常是不可能的；因此我们往往采用近似的方法来进行估算。试想我们可以将该不规则的面积用一个个的矩形来填充；矩形的宽度越小，我们估算的结果越精确。当这些矩形的宽度无限趋近于 $0$ 时，我们就可以认为这些举行的和便是该不规则形状的面积。

现在我们把不规则形状的边想象成函数的曲线，因此该形状的面积则可表示为函数曲线下的面积；我们将该面积称为定积分（Definite Integral）。假设定积分对应曲线 $f(x)$ 的定义域为 $[a,b]$，那么定积分可以记做：
$$ \displaystyle \int _ a^ b f(x)\, dx$$ $a,b$ 分别被称为该积分的下极限（Lower Limits）与上极限（Upper Limits）。

从几何上，上述定积分表示如下蓝色区域的面积：

图片来源：EDX MIT 6.001 Calculus B

而从代数的角度来看，定积分可以表示为黎曼和（Riemann Sum），也就是说，面积由很多和组成；每一个和都是由子区间长度与所在位置的函数值的乘积。

当 $f(x)$ 为常数的时候，定积分的面积表现为一个矩形：

图片来源：EDX MIT 6.001 Calculus B
$$\displaystyle \int _{-1}^4 2 \, dx\, =\, \text {Area }\, A_2\, \text {of the shaded rectangle} \, =\, 2\cdot \left(4-(-1)\right)\, =\, 10$$

$y=x$ 的定积分是一个等腰直角三角形：

图片来源：EDX MIT 6.001 Calculus B
$$\text{For any} \, b>0, \displaystyle \int _0^ b x \, dx \, =\, \text{Area of the shaded triangle} \, =\, \frac{1}{2} b^2$$

同函数上的两个定义域如果相连（即 $[a,b], [b,c]$），那么可得：

$$\displaystyle \large{ \int_a^b f(x) \, dx \,+ \, \int_b^c f(x) \, dx \quad =} \displaystyle \large{ \int f(x)\, dx } $$

即如下图所示：

图片来源：EDX MIT 6.001 Calculus B

定积分的求解可以分为三个步骤：

1. 将整个面积分为 $n$ 份
2. 将所有矩形的面积加到一起
3. 通过取极限的方式确定矩形的面积和

例A：求 $\displaystyle \int _0^b x^2 \, dx$ 的结果。

首先，我们将 $[0,b]$ 划分为 $n$ 份，那么对于每个矩形来说，其底就是 $\displaystyle \frac{b}{n}$。

接下来，按照 $y=x^2$计算高。因为矩形的高是其所在坐标的 $y$ 值，因此，这些矩形的高可以记做：

$$ \left( \frac{b}{n} \right)^2,\left( \frac{2b}{n} \right)^2......\left( \frac{nb}{n} \right)^2 $$

因此，所有矩形的和可以记做：

\begin{align} Sum &= \frac{b}{n} \cdot \left( \left( \frac{b}{n} \right)^2 + \left( \frac{2b}{n} \right)^2...... + \left( \frac{nb}{n} \right)^2 \right)\\\\ &= \left( \frac{b}{n} \right)^3 \cdot \left(1^2+2^2......+n^2 \right) \end{align}

接下来，我们对这个和进行计算。对于该式子中乘积的右边部分，我们可以将其想象成以边长为 $n$ 的正方形为底的单位长方体逐渐累加称的一个金字塔，记做 $Sum'$：

直接计算 $Sum'$ 是比较麻烦的；但假设我们按红色边框的范围抛去多余的矩形部分，那我们可以按棱锥的体积公式求出红色部分的体积，即底边长 $n$，高度为 $n$ 的棱锥体积：
$$ V_1 = \frac{1}{3}n^3 $$
接下来再按蓝色边框的范围，计算另外一个棱锥的体积：
$$ V_2 = \frac{1}{3}(n+1)^3 $$
很显然，我们要计算的和与上述两个体积有如下关系：
$$ \frac{1}{3}n^3 \leq Sum' \leq \frac{1}{3}(n+1)^3 $$
将其代入原来 $Sum$ 的公式，可得：
$$ \frac{1}{3}b^3\cdot\left(\frac{n^3}{n^3}\right) \leq Sum \leq \frac{1}{3}b^3\cdot\left( \frac{(n+1)^3}{n^3} \right) $$
假设 $n \to +\infty$，显然 不等式两边都趋近于 $\frac{1}{3}b^3$。因此：
$$ \displaystyle \int _0^b x^2 \, dx = \frac{1}{3}b^3 $$

前一个例子中和的表达式太长，使用起来不是很方便。为此，数学家们引进了一个和记号（Summation notation），记做 $\displaystyle \Sigma$，来表示该表达式的和。一个简单的例子如下：

$$ \displaystyle \sum _{i=1}^ n a_ i = a_1+a_2+\cdots +a_{n-1}+a_{n} $$
其中各个部分代表的意义如下图：

按照之前定积分的定义，假设我们将定积分 $\displaystyle \int _ a^ b f(x) \, dx$ 表示的面积分为 $n$ 个底（Base），那么每个底的区间长度则是：
$$ \displaystyle \Delta x= \frac{b-a}{n} $$

图片来源：EDX MIT Calculus B

接下来我们在第 $i$ 个底的区间内取一点 $c_i$，那么很显然，$ci$ 所处的矩形的面积就应表示为：

$$A_i = f(c_i) \cdot \Delta x$$


图片来源：EDX MIT Calculus B

根据上述推导，那么定积分所表示面积可以表示为：

\begin{align} A &= A_1+A_2+....A_n\\\\ &=\underbrace{f(c_1)}_\text {height}\, \underbrace{\Delta x}_\text {base} +\underbrace{f(c_2)}_\text {height} \, \underbrace{\Delta x}_\text {base}+\cdots + \underbrace{f(c_ n)}_\text {height} \underbrace{\Delta x}_\text {base} \\\\ &=\ \sum _{i=1}^{n} f(c_ i) \Delta x \end{align}

现在我们将该将该面积无穷细分，也就是令 $n \to +\infty$，那么有：

$$ \lim _{n\rightarrow \infty }\, \sum _{i=1}^{n} \, f(c_ i) \Delta x\ =\ \int _ a^ b f(x) \, dx $$

上面的公式被称为定积分的定义公式。我们把 $\sum _{i=1}^{n} f(c_ i) \Delta x$ 这个和式称为黎曼和（Riemann Sum）。如果我们选取的 $ci$ 处于底区间的左边末端，那么这个和称为左黎曼和；如果处于右边末端，那么这个和称为右黎曼和。显然，黎曼和的极限与定积分表示的面积是相等的。

为了更好的求解此类的为题，首先我们来看一下定积分的定义公式的特殊形式。

我们将 $[a,b]$ 区间的长度看做长度 $1$。根据 $\Delta x$ 的定义，我们有：

• 因为对 $1$ 进行分割，因此小矩形的底区间长度为 $\displaystyle \Delta x = \frac{1}{n}$。
• 每一份为 $\displaystyle \frac{1}{n}$，那么点 $c_i$ 的 $x$ 坐标应为 $\displaystyle \frac{i}{n}$。

因此，定积分的公式就可以转换为：

$$ \lim _{n\rightarrow \infty }\, \sum _{i=1}^{n} \, f(\underbrace{\frac{i}{n}} _{c_i}) \cdot \underbrace{\frac{1}{n}}_{\Delta x} =\ \int _ 0^ 1 f(x) \, dx $$

求解的过程分为五个步骤：

转换形式：通过恒等变形，将所求极限转换为特殊形式，即：

$$ a_n = \sum _{i=1}^nf \left(\frac{i}{n} \right) \frac{1}{n} $$

求被积函数：令 $\displaystyle \frac{i}{n} = x$，即可得到被积函数 $f(x)$，即：

$$f \left(\frac{i}{n} \right) = f(x)$$

求定积分上下限：取 $i$ 的第一个值，将其代入 $\displaystyle \lim _{n \to \infty }\frac{i}{n}$，所得极限即为积分的下极限，同时取 $i$ 的最后一个值，代入同样的极限，所得极限值即为积分的上极限，即：

\begin{align} a = \lim _{n \to \infty}{\frac {k}{n}}, \,\,\text{k is the first element of i}\\\\ b = \lim _{n \to \infty}{\frac {m}{n}}, \,\,\text{m is the last element of i}\\\\ \end{align}

将极限转化为定积分形式：

$$ \lim _{n\rightarrow \infty }\, \sum _{i=k}^{m} \, f({\frac{i}{n}}) \cdot {\frac{1}{n}} =\ \int _ a^ b f(x) \, dx $$

求解定积分：
$$\int _ a^ b f(x) \, dx = F(x)|_a^b$$
注：此处使用了微积分第一基本定理，请参考 section.2

例B：求解 $\displaystyle \lim _{k \rightarrow \infty } \sum _{n=1}^{k} \frac{1}{k} \frac{n^2+3nk+9k^2 \sin (n/k)}{k^2}$
\begin{align} \displaystyle \lim _{k \rightarrow \infty } \sum _{n=1}^{k} \frac{1}{k} \frac{n^2+3nk+9k^2 \sin (n/k)}{k^2}\\\\ =\displaystyle \lim _{k \rightarrow \infty } \sum _{n=1}^{k} \frac{1}{k} \cdot \left(\frac{n^2}{k^2}+\frac{3n}{k}+9sin(\frac{n}{k})\right) \end{align}

令 $\displaystyle \frac{n}{k} = x$，则 $f(x) = x^2+3x+9sin(x)$。

令 $n=1$，当 $k \to \infty$ 时，$\displaystyle \lim _{ k \to \infty } \frac{n}{k} = 0$;

令 $n=k$，当 $k \to \infty$ 时，，$\displaystyle \lim _{k \to \infty} \frac{n}{k} = 1$;

因此可得：

$$\displaystyle \lim _{k \rightarrow \infty } \sum _{n=1}^{k} \frac{1}{k} \cdot \left(\frac{n^2}{k^2}+\frac{3n}{k}+9sin(\frac{n}{k})\right) = \displaystyle \int _{0}^{1} \left(x^2+3x+9\sin (x)\right)\, dx$$

在实际的应用中，定积分不单单表示指定区间内曲线下的面积，同时可以表示其他各种可以用累积形式表示的总量。我们把这样的形式称为累积和（Cumulative sums）。

例C：现有一个圆柱体容器，深度为 $D$，半径为 $R$，内部装满了水。现在我们在该容器的正中心释放融水消毒剂。经过几个小时的均匀释放，在半径为 $r$ 时候，测得消毒剂浓度为 $\displaystyle \frac{k}{1+r^2} \, g/m^3$。求消毒剂释放的总量。

解析：首先我们可以得知，总量等于浓度乘上拥有消毒液的水的体积；因此此题实际上是在求经过一段时间消毒剂扩散到了多少体积的水里。由于扩散是均匀释放，因此我们可以将扩散的过程想象为一圈一圈的往外扩散，如下图：



假设图中橙色部分是在半径为 $r_i$ 时拥有消毒剂的水体体积，而整个灰色部分是半径为 $r_{i+1} $ 时拥有消毒剂的水体体积，那么含有消毒剂的水体体积的增量就可以看做成一个空心圆柱体的“壳”。而这个“壳”其实是可以如下图一样展开的：



这个“壳”看起来像个长方体，但实际上不是，因为壳的内圈与壳的外圈的周长是不一样的。但在此处，我们可以用长方体的体积公式来表示这个壳的体积。

试想一下，从 $r_i$ 到 $r_{i+1}$，半径的增量为 $\Delta x$。假设我们将消毒剂的扩散的步骤无限细分，也就是 $\Delta x \to 0$，那么很显然，壳的增量就可以被视作一个长方体了。因此，我们可以认为壳的增量：

$$ \Delta V =2 \pi r_i \cdot \Delta x \cdot D $$

那么在每一次壳的增加过程中，新释放的消毒剂数量应为：

$$\Delta A = \Delta V \cdot k\frac{r_i}{1+r_i^2} = 2 \pi D \cdot k\frac{r_i}{1+r_i^2} \cdot \Delta x$$

因此，整个消毒剂的释放量，可以被视为所有新释放的消毒剂数量的累积和。考虑到无穷细分的情况，则该累积和是 $n \to \infty$ 的极限。又因 $r_i$ 属于 $[0,R]$,因此该极限可以转换为如下定积分：

$$ A = \lim _{n \to \infty}\sum _{i=1}^n 2 \pi D \cdot k\frac{r_i}{1+r_i^2} \Delta x = 2 \pi Dk \int_0^R\frac{r}{1+r^2}dr $$

综合黎曼和、放缩法、夹逼定理，我们可以对定积分进行求值。但这样的方法较为复杂；而因为定积分与不定积分长的挺像的，我们又联想到，是否可以采用不定积分的解积分手段来操作定积分？

因为定积分与不定积分是两种不同的概念，我们必须要引入特殊的定理来构建两者之间的桥梁。而需要被引入的定理，称之为微积分第一基本定理（The First Fundamental Theorem of Calculus），简称 FTC1。

来看看该定理的定义是什么样子的：

If $F$ is differentiable, and $F′=f$ is continuous, then:
$$\displaystyle \displaystyle \int _ a^ b f(x) \, dx = F(b) - F(a)$$

该定理直接将定积分与不定积分联系了起来。我们可以通过定积分中被积函数求得原函数，再将区间首尾两端的值代入原函数相减即可得到定积分的值。这就意味着，我们可以用不定积分求积分的手段来求解定积分了。

为了简便结果，我们有如下的简写方式：

$$ \displaystyle \displaystyle \left.\phantom{\int }F(x)\, \right|_ a^ b = F(b) - F(a) $$

通过 FTC1，我们知道定积分的结果可以表示为差。既然是差，那么这个数可以为正，也可以为负。为正的时候，定积分可以解释为曲线下区间内的面积。如果为负呢？

为了解释这个问题，我们先来看一个例子。

假设我们从家中开车到边境，距离是 $125km$。我们花了 $2$小时开车到边境，发现忘了带护照，因此又即刻返程，总共花了 $4$ 小时时间。设速度的函数为 $v(t)$，位移的函数图为 $x(t)$，具体信息参考如下两图：

我们来考虑一下：$\displaystyle \int _{0}^{4} v(t)\, dt$ 到底意味着什么。

我们知道，速度是位移的导数。因此，$v(t)$ 对应的原函数应该是 $x(t)$。根据 FTC1，可得：

• $\displaystyle \int _{0}^{2} v(t)\, dt = x(2) - x(0) = 125$
• $\displaystyle \int _{0}^{2} v(t)\, dt = x(4) - x(2) = -125$
• $\displaystyle \int _{0}^{4} v(t)\, dt = x(4) - x(0) = 0$

可以看出来的是，最终的结果就是前两个定积分的和。考虑到位移是有正负的，而在区间 $[2,4]$ 上的位移是负的，我们可以大胆的推断，在 $x$ 轴以下的定积分值，依然代表着面积，但其符号是负的。

不难推断，如果将面积视为绝对值，那么定积分的通用几何解释，就是 $x$ 轴以上的面积减去 $x$ 轴以下面积得到的最终结果。其本质也可以看做是元素有正有负的累积和。

本节图片来源：EDX MIT Calculus B

根据 FTC1 我们可以得到一些相关的定积分性质：

定积分的和等于和的定积分

$$\int _{a}^{b} \left( f(x) +g(x) \right) \, dx \, =\, \int _{a}^{b} f(x)\, dx +\int _{a}^{b} g(x) \, dx$$

定积分与常数的乘积等于常数与该函数的乘积的定积分

$$ \int _{a}^{b} c \, f(x) \, dx \, =\, c\, \int _{a}^{b} f(x)\, dx\qquad \text {for any constant}\, c $$

定积分起始终点相同，则值为0

$$\int _{a}^{a} \, f(x) \, dx\, =\, 0$$

交换定积分的起点与终点，得到的定积分是原来的定积分值的负值

$$\int _{b}^{a} \, f(x) \, dx\, =\, - \int _{a}^{b} \, f(x) \, dx\qquad \text {for any}\, a,b$$

定积分组合律

$$ \int _{a}^{c} \, f(x) \, dx\, =\, \int _{a}^{b} \, f(x) \, dx\, +\, \int _{b}^{c} \, f(x) \, dx\qquad \text {for any}\, a,b,c $$

定积分有如下性质： If $f(x)≤g(x)$, and $a≤b$,then: $$\displaystyle \int _{a}^{b} f(x)\, dx\, \, \, \leq \, \, \, \int _{a}^{b} g(x)\, dx \qquad (\text {for}\, \, a\leq b).$$ 但当 $b≤a$ 的时候，这个结论要反过来了： $$\displaystyle \int _{a}^{b} f(x)\, dx\, \geq \, \int _{a}^{b} g(x)\, dx \qquad (b\leq a).$$

我们熟知换元法在不定积分中的应用。但在定积分里，换元会带来一个问题：新变量相较于原变量的取值范围的改变。而为了处理这个问题，我们必须要注意两点：

• 换元以后，需要计算出新变量的取值范围
• 换元以后，必须要注意新变量的取值范围是否导致原变量的取值范围的衰减

先来看一个例子：求解 $\displaystyle \int _1^2 (x^3+2)^5x^2 dx$。

按照以前对不定积分的换元解法，令 $u = x^3+2$，那么有 $\displaystyle \frac{du}{3} = x^2dx$。因此，原式的不定积分可以替换为：
$$ \displaystyle \frac{1}{3}\int u^5du $$
到目前为止都使用了不定积分的技巧，没有问题。但此时需要注意的是，积分中的变量已经发生了变化，不再是 $x$，而是 $u$。这也提醒了我们，是什么样的变量在参与积分的计算。

因此，要求 $u$ 参加的定积分，就必须以 $u$ 的定义域为条件来代入 FTC1，只有这样，我们才能得到正确的结果。

之前的 $x$ 的范围为 [1,2]。将其代入我们的换元公式，新的 $u$ 的范围为：$[1^3+2, 2^3+2]$，即 $[3,10]$。 所以，该定积分最终的结果为：
$$ \displaystyle \frac{1}{3}\int _3^{10} u^5du = \frac{1}{18} u^6 \bigg| _3^{10} $$

在换元的过程中，换元以后，如果出现了$u'$ 或 $du$ 异号的情况，那么一定要注意。因为异号往往会导致新的变量不能完整的反映原有的变量，比如 $\displaystyle \int _{-1}^{1} x^2 \, dx$。按照原来的解法，令 $u=x^2$，那么 $du=2x\, dx$，因此有：
$$ \displaystyle \int _{-1}^{1} x^2 \, dx = \int _{u=(-1)^2}^{u=1^2} u \cdot \frac{du}{2\sqrt {u}} = \int _{1}^{1} u \cdot \frac{du}{2\sqrt {u}}=0 $$
这个结果显然是错的，$x^2$ 的图像在 $[-1,1]$ 上显然不为 $0$。那么是什么导致了这个错误呢？

原因是因为我们在换元的时候，$u'$ 在 $x = 0$ 处发生了符号的变化；这就意味着 $u$ 在对应定义域上不再是单调函数。这里又有一个问题，为什么单调函数是进行换元的前提呢？

我们可以回想一下前面 2.1.中的速度图。设想一下如果我们要计算位移（Position）。我们知道速度是位移的导数；当我们只往一个方向跑的时候，这种情况就是我们所谓的 $u'$ 不变号的情况；很显然我们可以通过速度与时间算出位移。但当我们进行折返跑，也就是 $u'$ 反复变号的时候，那么再应用之前的求法，实际上就是求的距离（Distance）了。

牵涉到本例中，因为从 $x^2$ 映射到了 $u$，因此根据 $x$ 的正负，在不同的定义域上，$x$ 是有不同的表达式的：

$$ \displaystyle x\, \, = \, \, \begin{cases} \displaystyle +\sqrt {u} & \mbox{if } x \geq 0 \\ -\sqrt {u} & \mbox{if } x\leq 0. \end{cases} $$

很显然，如果 $u'$ 发生了变号，那么我们需要以 $u'$ 改变符号的位置为界限，对定积分进行分段求解，再通过其性质对其相加，得到最终结果。那么本例中，因为 $u'$ 在 $0$ 处发生了符号变化，因此原有的定积分需要表示为：

$$ \displaystyle \displaystyle \int _{-1}^{1} x^2 \, dx =\displaystyle \int _{-1}^{0} x^2 \, dx + \int _{0}^{1} x^2 \, dx. $$

FTC1 比 MVT 更加具有实用性。

由前面得知，FTC1 与 MVT 的前提条件是一致的，即 $F(x)$ 在 $[a,b]$ 是可微的，且 $F'(x)$ 在 $[a,b]$ 上是连续的。令：$\Delta F = F(b)-F(a)$，$\Delta x = b-a$，那么根据 MVT，有：

$$ \displaystyle \displaystyle \frac{\Delta F}{\Delta x} = \displaystyle F'(c) \qquad \text {for some}\, c,\, \, a<c<b. $$

因为我们不知道 $c$ 的位置，因此我们不能通过 MVT 计算出 $\displaystyle \displaystyle \frac{\Delta F}{\Delta x}$。

而对于 FTC1，则有：

$$ \displaystyle \displaystyle \frac{\Delta F}{\Delta x} = \displaystyle \frac{1}{b-a} \int _ a^ b F'(x) \, dx. $$

可以看出来 FTC1 是可以求得 $\displaystyle \displaystyle \frac{\Delta F}{\Delta x}$ 的值的。

假设我们有如下形式的定积分： $$\displaystyle \int _{a}^{x} m\, dt$$
在这个定积分中，我们将该定积分的 upper limit 改为了变量 $x$；因此我们得到了一个关于 $x$ 的函数，我们令其为 $F(x)$：
$$F(x) = \displaystyle \int _{a}^{x} mdt$$
按照定积分的定义，$F(x)$ 可以表示为一个长为 $x$，宽为 $m$ 的面积，即 $m(x-a)$：

图片来源：EDX MIT 6.001 Caculus B 插图

现在对 $F(x)$ 求导可得： $F'(x) = m$。而如果我们将 $F(x)$ 写作 $\displaystyle \int _{a}^{x} f(t) \, dt$ 的形式，我们发现，$F'(x) = f(t)$。

上述的规律在微积分中被称为微积分第二基本定理（The Second Fundamental Theorem of Calculus）。以下是微积分第二基本定理（简称 FTC2）的定义：

Given a continuous function $f(x)$.

$$\displaystyle G(x)=\int _{a}^{x} f(t)\, dt \qquad (\, \, t\, \, \text {between}\, \, a\, \, \text {and}\, x),$$
then
$$G'(x)=f(x)$$.

从微分方程的角度来讲，我们可以将方程 $G$ 作为如下微分方程的解：

$$ \begin{split} &y'=f \displaystyle \,\,\, (\text {differential equation}).\\\\ &y(a) = 0 \,\,\,\displaystyle (\text {initial condition}). \end{split} $$

在使用 FTC2 时，标准的形式是 $\displaystyle \frac{d}{dx} \int _{0}^{x}f(t)dt$ 这样的。但有时候我们会遇到变量 $x$ 是一个函数，即： $$\displaystyle \displaystyle \frac{d}{dx}\int _{a}^{u(x)} f(t)\, dt \tag{7.1.1}$$
对于这样的式子，我们需要对其应用 Chain rule。我们可以尝试推导一下 Chain rule 的公式：

首先，我们令 $\displaystyle =\int _{a}^{u} f(t)\, dt$，那么很显然有：
$$G(u(x)) = \displaystyle \int _{a}^{u(x)} f(t)\, dt \tag{7.1.2}$$
将式子 7.1.2 带入到 7.1.1 中，则有：
$$\displaystyle \frac{d}{dx} G(u(x)) = G'(u(x)) \cdot u'(x)$$
根据 FTC2，有：
$$G'(u) = f(u)$$
\\因此$\displaystyle G'(u(x)) \cdot u'(x)\qquad (\text {chain rule})$ 的结果可以用 $f(x)$ 表示： $$\displaystyle \frac{d}{dx}G(u(x)) = \displaystyle f(u(x)) \cdot u'(x)$$
即：

$$\displaystyle \frac{d}{dx} \int _{a}^{u(x)} f(t)\, dt = f(u(x)) \cdot u'(x)$$

通过前面我们可以得知 FTC2 实际上反映的是这么一个关系： $$ \displaystyle \frac{d}{dx}\int _{a}^{x} f(t) \, dt = f(x) \,\,\, \text{for any continuous function f} $$
即：如果令 $\displaystyle F(x) = \int_a^b f(t)dt$，那么就有 $\displaystyle F'(x)=f(x)$。

我们可以通过定积分的几何意义来证明这个等式，从而证明 FTC2。

根据上图，我们可知：

\begin{align} &\displaystyle F(x) = \displaystyle \int _{a}^{x} f(t)\, dt\, \, = \displaystyle \text {Area between}\, \, a\, \, \text {and}\, \, x, \\\\ &\displaystyle \Delta F = \displaystyle \int _{x}^{x+\Delta x} f(t)\, dt\, \, = \displaystyle \text {Area between}\, \, x\, \, \text {and}\, \, x+\Delta x. \end{align}

我们可以将 $\Delta F$ 的面积近似为一个矩形的面积，因此有：
$$ \displaystyle \displaystyle \frac{\Delta F}{\Delta x} = \displaystyle \frac{f(x)\cdot \Delta x}{\Delta x} = \displaystyle f(x) $$
因为 $f$ 是连续的，所以可得：
$$F'(x) = \displaystyle \displaystyle \lim _{\Delta x\rightarrow 0} \frac{\Delta F}{\Delta x} = \displaystyle \lim _{\Delta x\rightarrow 0} f(x) = \displaystyle f(x)$$
同理可证明当 $f<0$ 的情况。

FTC1 可以通过 FTC2 来证明。

令 $\displaystyle F(x) = \int_a^b f(t)dt$。通过 FTC2 可知 $F'(x) = f(x)$。现在我们再令 $\displaystyle G(x) = \int_a^b f(t)dt$, 根据 FTC2，同样有 $G'(x) = f(x)$。因此根据 MVT，我们可以得到如下结论：

$$ \displaystyle F'(x)\, =\, G'(x) \displaystyle \Rightarrow \displaystyle F(x)\, =\, G(x)+C $$
接下来我们将 $G'(x)$ 代入到 $F(b)-F(a)$ 的运算中，则有：

\begin{align} F(b)-F(a) &=(G(b)+C)-(G(a)+C)\\\\ &=\displaystyle \int _{a}^{b} f(t)\, dt- \int _{a}^{a} f(t)\, dt\qquad (\text {Definition of}\, \, G)\\\\ &= \displaystyle \int _{a}^{b} f(t)\, dt - 0\\\\ &= \displaystyle \int _{a}^{b} f(t)\, dt \end{align} 因此FTC1得证。

假设我们有如下的方程： $$\displaystyle \displaystyle L(x)\, =\, \int _{1}^{x} \frac{dt}{t} \,(x>0).$$ 根据 FTC2，我们可以得到： $$L'(x)\, =\, 1/x$$ $$L(a)=0\,\, for \,\, a = 1$$

图片：$L(x)$ 的几何示意图；来源：Edx MIT 6.001 Calculus B

根据以上条件，我们不难判断出，$ \displaystyle \displaystyle L(x)\, =\, \int _{1}^{x} \frac{dt}{t} \qquad (x>0).$ 是 $ln(x)$ 的定积分表达形式。而我们发现 $L(x)$ 这样的表达形式，是不能用任何多项式、加减程程等等代数运算来表示的。我们将这样的方程（表达式），称为超越方程（Transcendental Function）。

当我们知道对数的定积分形式的时候，我们就可以用它的导数来描述对数图像的特性了。有几个特性是显然易见的：

• $L'(x) = 1/x$，因为 $x>0$，因此对数的图像是永远递增的。
• $L''(x) = -1/x^2$，因此对数的图像是永远 concave down 的。
• 由 $L(a)=0\,\, for \,\, a = 1$，可知 $L(x)$ 的图像过 $(0,1)$ 点。
• 当$0<x< 1$时，$L(x) = \displaystyle \int_1^x \frac{dt}{t} = - \displaystyle \int_x^1 \frac{dt}{t} < 0$，因此函数的图像在 $(0,1)$ 上是负的。

由以上四点，我们就可以描绘出对数的图像了：

图像来源：Edx MIT 6.001 Calculus B

而我们将 $L(x)=1$ 时的 $x$ 值，定义为 $e$。

对数还有两个很重要的性质，我们也可以使用定积分的形式来证明。 令$\displaystyle \displaystyle L(x)\, =\, \int _{1}^{x} \frac{dt}{t} \qquad \text {for} \, x>0.$

1. $L(ab) = L(a) + L(b)$

证明： 根据定积分的特性，$\displaystyle \int_1^{ab}\frac{dt}{t} = \int_1^a \frac{dt}{t} + \int_a^{ab}\frac{dt}{t}$。
因此，我们只需要证明 $\displaystyle \int_a^{ab}\frac{dt}{t}$ 与 $\displaystyle \int_1^b\frac{dt}{t}$ 相等即可。
现在我们对 $\displaystyle \int_a^ab\frac{dt}{t}$ 进行换元：

设 $t= au$，对两边同时微分，则有 $dt = adu$（$a$ 为常数系数）。

通过原有的定积分区域 $[a, ab]$，我们可以计算出换元以后函数的上下极限为：$[a/a, ab/a]$（当 $t$ 分别为原定积分上下极限的情况下），即 $[1,b]$。
因此： $$\displaystyle \int_a^{ab}\frac{dt}{t} = \displaystyle \int_1^{b}\frac{adu}{au} = \displaystyle \int_1^{b}\frac{du}{u} = \displaystyle \int_1^{b}\frac{dt}{t}$$

2:$L(\frac{1}{x}) = -L(x)$

同性质1的证明过程，我们依然对其进行换元。令 $u = 1/t$，因此可得：

• $t = 1/u$
• $dt = -1/u^2 \cdot du$

将上述结果带入 $L(x)$ 中，可得： $$L(x) = \int_1^{\frac{1}{x}} \cdot -\frac{1}{u} \cdot du = -L(1/x)$$

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