MITx: 18.01.2x Calculus 1B notes

来思考这么一个问题：我们在驾驶的过程中，如果知道了驾驶的平均速度，那么是否在驾驶的过程中，有那么一刻平均速度与该时刻的瞬时速度是相等的呢？

这个问题很容易转化为数学问题。我们知道，平均速度在数学上可以用 Average Rate of Change，也就是几何上的 Secant Line 来表示；而瞬时速度则可以用 Instantaneous Rate of Change，也就是几何上某一点的 Tangent Line 来表示。因此，上述的问题实际就是在问：某个函数图像在指定的两点之间，是否存在一点，该点的斜率与指定的两点之间的连线平行？

该问题的结论被称为中值定理（Mean Value Theorem）：

If is continuous on $a\leq t \leq b$, and differentiable on $a< t < b$, that is, $x'(t)$ is defined for all $a< t < b$, , then
$$\displaystyle \frac{x(b)-x(a)}{b-a} \, = x'(c) \qquad \text{for some }c,\, \, \text{with } a<c<b.$$

根据先前的问题，我们可以考虑一种特殊的情况：假设函数在区间 $[a,b]$ 上的起始点值相等，即 $f(a) = f(b)$。因此，$a、b$ 之间的连线一定与 $x$ 轴平行；也就是说，Secant Line 的斜率为 $0$。那么有没有可能在 $[a,b]$ 之间找到一点的切线与该连线平行（斜率为 $0$）？

根据导数的几何意义，切线斜率为 $0$ 的地方往往出现在拐点（极值点）。假设 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，且在$(a,b)$ 上处处可微分；根据极值定理，我们可以判断 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上必定拥有最大值和最小值。 根据 $f(a)、f(b)$ 的值，上面的问题可以分成两种情况讨论：

1. 最大值等于最小值：因为 $f(a) = f(b)$，那么很显然该函数在 $[a,b]$ 上的图像是一条平行于 $x$ 的直线；也就是说 $f'(x)$ 必然为 $0$, 该函数上任意一点的切线均与点 $a、b$ 连线平行。
2. 最大值不等于最小值：因为 $f(a) = f(b)$，因此 $a、b$ 两点不可能同时作为最大值和最小值。综合极值定理可以推断，在 $(a,b)$ 之间必定存在一点 $c$，使得 $f(c)$ 为 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 的最大值或者最小值。而我们知道最值出现的地方必定是函数图像的拐点，斜率必然为 $0$。由此可见这种情况也是成立的。

综上我们可以推断在特殊情况 $f(a) = f(b)$ 的时候，我们必然可以在区间 $[a,b]$ 上找到一点，其切线与 $a、b$ 的连线平行。用公式的形式可以表示如下：

Suppose a function $f(t)$ is continuous on $[a,b]$, and differentiable on $(a,b)$.there is must a point $c$,with $a<c<b$, such that:
$$\displaystyle f'(c)\, =\, 0 \, =\, \frac{0}{b-a} \, =\, \frac{f(b)-f(a)}{b-a}\qquad \textrm{since}\, f(a)=f(b).$$

上述定理被称为罗尔中值定理（Rolle's Theorem），是中值定理中的一种特殊形式。

上述定理的证明过程中我们注意到两个很重要的前提：

• $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续
• $f(x)$ 在 $(a,b)$ 上可微

这两个前提是中值定理存在的必要条件。来看看如果不连续和不可微分会出现什么样的情况：

1.函数不连续的情况：



上图中拐点处的切线与起点和终点连线平行；但由于函数不连续，该拐点不存在；因此切线也不存在，MVT 在这种情况下失效。

2.函数不可微的情况



上图中拐点处因为是一个 Cusp，在该点函数无法微分，因此切线不存在；从而我们也无法找到与起点终点连线平行的切线，MVT 在该情况下也失效。

有些情况下，函数本身并不满足中值定理的前提，但结果却和中值定理的结论是一样的，比如下图：



以上三图来源：EDX MIT Calculus B 课件

该函数并不满足前提，但显然可以找到一点与函数的起点终点连线平行。

罗尔中值定理有一个特殊的前提：起点与终点的值相等。那么当起点与终点的值不相等的时候，一个满足中值定理前提的函数，是否也有类似的性质呢？来看看下图：



该图描述了在上述的情况下中值定理的几何意义；我们发现该性质在几何上也同样是寻找一个点，使得过该点的切线与起点终点连线平行。因此我们可以利用罗尔中值定理。因此，我们只对该函数进行构造，使得其起点终点再相等即可。

要使起点终点函数值相等，比较方便的方法是用起点 / 终点的函数值分别减去自身。通过观察，我们实际上可以用原有函数减去起点终点连线的函数（Secant Line）；这样可以保证构造以后的函数起点的函数值一定等于终点的函数值，从而符合了使用罗尔定理的条件。

令原函数为 $x(t)$，且该函数在 $[a,b]$ 上连续，且在 $(a,b)$ 上可微。那么原函数的起点为 $(a,x(a))$，终点为 $(b, (x(b))$。通过上述信息可知，该两点的连线的函数过点 $(a,x(a))$，且斜率为$\displaystyle \frac{x(b)-x(a)}{b-a}$。那么该两点的连线的方程可以表示为：

$$ g(t) = x(a)+ \frac{x(b)-x(a)}{b-a}(t-a) $$ 这就是我们为了达到使用罗尔定理的目的需要定义的辅助函数。由以上内容，我们构建的函数为：

$$ x_0(t) = \displaystyle x(t) - \left(x(a)+ \frac{x(b)-x(a)}{b-a}(t-a)\right) $$

根据罗尔定理，$x_0(t)$ 在 $(a,b)$ 上必有一点 $c$，使得 $x_0'(c) = 0$。将上面的方程变形一下：

$$ x(t) = \displaystyle x_0(t) - \left(x(a)+ \frac{x(b)-x(a)}{b-a}(t-a)\right) $$

对 $x(t)$ 左右两边同时求导，可得：

$$ x'(t) = x_0'(t) + \frac{x(b)-x(a)}{b-a} $$

令 $t = c$，上面的式子可以写成：

$$ x'(c) = x_0'(c) + \frac{x(b)-x(a)}{b-a} $$

因为 $x_0'(c) = 0$，因此该式可以写成：

$$ x'(c) = 0 + \frac{x(b)-x(a)}{b-a} = \frac{x(b)-x(a)}{b-a} $$

我们发现，$x(t) $在 $c$ 点处的切线斜率，与$x(t)$ 上 $a、b$ 两点连线的斜率是相等的。因此，我们可以得出以下结论：

If $x(t)$ is continuous on $a≤t≤b$, and differentiable on $a<t<$b, that is, $x′(t)$ is defined for all $t$, $a<t<b$, then

$$\displaystyle \frac{x(b)-x(a)}{b-a} \, = x'(c) \qquad \text {for some }c,\, \, \text {with } a<c<b.$$

该定理被命名为拉格朗日中值定理（Lagrange Mean Value Theorem），该定理是罗尔中值定理的推广形式。

导数可以用于判断函数的走势；该性质大致可以总结如下：

If $x′(t)≥0$ for all $t$ in $(A,B)$, then $x(t)$ is increasing or staying the same over $[A,B]$.
If $x′(t)≤0$ for all $t$ in $(A,B)$, then $x(t)$ is decreasing or staying the same over $[A,B]$.
If $x′(t)=0$ for all $t$ in $(A,B)$, then $x(t)$ is constant over $[A,B]$.
If $x′(t)>0$ for all $t$ in $(A,B)$, then $x(t)$ is strictly increasing over $[A,B]$.
If $x′(t)<0$ for all $t$ in $(A,B)$, then $x(t)$ is strictly decreasing over $[A,B]$.

上述的总结我们可以用中值定理来对其进行证明。

为了使用中值定理证明上述的性质，我们需要引进两个概念：上界（Upper bound）和下界（Lower bound）。我们使用 $M$ 表示上界， $m$ 表示下界；这两个概念的定义如下：

A number $M$ is an upper bound on a function $f(x)$ if $f(x) \geq M$ for all $x$
A number $m$ is an lower bound on a function $f(x)$ if $f(x) \leq m$ for all $x$

而这两个标记也可以用于指定的区间上，他们与函数的关系可以记做：

$$ m \leq f(x) \leq M \,\,\displaystyle \text {for all } \, \, x\, \, \text {in}\, \, [a,b] $$

一个函数可能拥有数个上界和下界，那么上界中最小的一个，我们称之为最小上界（best upper bound），而下界中最大的一个，我们称之为最大下界（best lower bound）。很明显，“Best” 这个词是在描述离函数最近的属性。

假设函数 $x(t)$ 在 $[A,B]$ 上连续，并且在 $(A,B)$ 上可微（即满足MVT前置条件）。根据上述信息我们可以得知 $x'(t)$ 的表达式为：
$$ x'(t) = \frac{x(B)-x(A)}{B-A} $$ 假设 $m$ 为 $x'(t)$ 的下界，那么根据中值定理，则有：

$$ m \leq \frac{x(B)-x(A)}{B-A}, \,\, \text{for all t such as A < t < B} $$
现在我们假设有一个区间 $[a,b]$ 处于 $(A,B)$ 之间，即 $A \leq a < b \leq B$。可以看出来，因为 MVT 在区间 $(A,B)$ 上适用，那么肯定在区间 $(a,b)$ 上适用。因此，可以总结的是：

$$ \displaystyle \displaystyle m\leq \frac{x(b)-x(a)}{b-a} \, \, \text { for ALL }\, a,b\, \text {such that} \, \, A\leq a<b\leq B. $$
现在令 $m = 0$，因为 $b >a$，因此 $x(b) \geq x(a)$。

因此，对于函数 $x(t)$，上述的不等式说明了函数 $x(t)$ 在 $[A,B]$ 上是递增或者是保持常量（当 $x(a) = x(b)$ 时）。这与我们之前学习的导数性质是符合的。

同理，令 $x'(t) \leq 0$（即 $0$ 为 $x'(t)$ 的上界），也可以证明导数为负时函数的趋势为下降的性质。

问题：已知函数 $\displaystyle f(x) = -\frac{x^3}{6} - 3x - 2 \cos x$，如何判断该函数的根有多少个？

• 首先从函数自身判断：当 $x \to -\infty$ 时，$f(x) \to \infty$；当 $x \to +\infty$ 时，$f(x) \to -\infty$。因此可知，函数图像必定穿过 $x$ 轴，因此，该函数至少有一个根。
• 其次，该函数的导数 $\displaystyle \displaystyle f'(x) = -\frac{x^2}{2} - 3 + 2 \sin x$。该导数在整个 $x$ 的定义域上都是恒为负的。由MVT可知，$f'(x) < 0$，则 $f(x)$ 单调递减，$f(x)$ 的图像只能穿过 $x$ 轴一次。因此，该函数有且只有一个根。

如果是比较两个函数的大小，该类的问题实际上可以转换成讨论另外一个函数的正负问题。即比较$f(x)$ 与 $g(x)$ 的大小，我们可以令 $h(x) = f(x) - g(x)$，通过讨论 $h(x)$ 的正负来反映 $f(x)、g(x)$ 的关系。而 $h(x)$ 本身拥有表达式；因此我们可以利用其导数的性质来作出判断。

例A：证明 $\displaystyle e^ x>1+x \text { for all } x>0$。

由题，令 $h(x) = e^x - (1+x)$。

• 首先判断是否存在 $x$ 使得 $h(x) = 0$。本例中，令 $e^x - (1+x) = 0$， 则可算出当 $x =0 $ 时 $h(x) = 0$。
• 接下来判断 $h'(x)$ 的正负。 显而易见的是，$h'(x)=e^ x-1 \, >0$ 对于所有的 $x > 0$ 都成立。根据 MVT推导出的导数性质，可知 $h(x)$ 在 所有的 $x>0$ 上单调递增的。因为 $h(0) = 0$，因此 $h(x)$ 在$(x , +\infty)$ 上是恒大于 $0$ 的，即 $e^ x>1+x \,\, \text{for all} \,\, x>0$，问题得证。

由 MVT 可知， average rate of change 与区间$[a,b]$上某一点的导数相等。当该导函数存在 bounding 时，很容易得出： $$ \displaystyle \text{for all}\, \, c\, \, \text{with}\, \, a<c<b, $$ 很显然，导函数 $x'(t)$ 的上下界也是 average rate of change 的上下界： $$ m \leq \displaystyle \frac{x(b)-x(a)}{b-a} \leq M \,\,\,\displaystyle \text {(Bounds on the average rate of change).} $$ 由于 $b - a >0$，因此上述不等式可以改写为： $$ \displaystyle m \cdot (b-a) \leq x(b) -x(a) \leq M \cdot(b-a) \text{(Bounds on the total change)} $$ 也就是说，函数 $x'(t)$在区间 $[a,b]$ 上的变化量也是有一个上下限的，值如上面的不等式所示。 根据极值定理，连续的函数在某个闭区间上必定有最大值和最小值。对于函数来说，其自身的最大值和最小值即是该函数的最小上界和最大下界。因此，先前的关系可以转写为：

$$ \displaystyle m \leq \displaystyle \displaystyle \min _{a \leq t \leq b} x'(t) \displaystyle \leq \displaystyle \frac{x(b)-x(a)}{b-a} \displaystyle \leq\displaystyle \max _{a\leq t \leq b} x'(t) \leq \displaystyle M $$

例B：下列不等式是否成立?
$$ \displaystyle \tan (\theta )-\tan (\phi )\, \geq \, \theta -\phi \qquad \left(\text {for all }\, \, -\frac{\pi }{2}<\phi <\theta <\frac{\pi }{2}\right) $$ 将上述不等式变形，可以看出来是函数 $tan$ 的导数形式：

$$ \displaystyle \frac{\tan (\theta )-\tan (\phi )}{\theta -\phi } = tan'(\theta) $$ 因为 $\theta >\phi$，根据 MVT，有：
$$ \displaystyle \frac{\tan (\theta )-\tan (\phi )}{\theta -\phi }\, \geq \, \min _{-\frac{\pi }{2}<\theta <\frac{\pi }{2}} \tan '(\theta )\qquad \text {for any } -\frac{\pi }{2}<\phi <\theta <\frac{\pi }{2}. $$ 对其导数进行计算，有：
$$ \displaystyle \frac{d}{d\theta } \tan (\theta ) = \, \sec ^2(\theta )\, \geq 1 \qquad \text { for all } -\frac{\pi }{2}<\theta <\frac{\pi }{2}. $$ 因此可知， $$ \displaystyle \frac{\tan (\theta )-\tan (\phi )}{\theta -\phi }\geq 1 \qquad \text { for all } -\frac{\pi }{2}<\phi <\theta <\frac{\pi }{2} $$ 变形一下，则可知题目命题成立。

MVT 和 线性近似都可以用于表达函数的平均变化率。这两者的区别在于：

• 线性近似能找到函数上一个确定的点，通过该点的斜率来计算另外一个点处函数的值，但这个值是近似的。
• MVT只知道函数上的某一点导数然等于平均变化率，我们不能确定该点的位置，但计算出来的平均变化率是绝对准确的。

$$\Delta x \approx x'(a) \Delta t$$



$$\Delta x = x'(c) \Delta t$$

以上两图来源：EDX MIT 6.001 课程插图。

为了更好的理解接下来的知识，我们采用了莱布尼兹的写法来对微分做正式的标记：

Let $y=F(x)$, the differential of y is defined as：

$$\displaystyle dy \, = \, F'(x) dx$$
This is also called the differential of F and denoted $dF$.

这个标记来自于莱布尼兹对导数的标记：
$$ \displaystyle F'(x)= \frac{dy}{dx} \qquad \left(\text {or} \, \, \frac{ dF}{dx}\right) $$
换句话说，我们可以将导数理解为微分 $dy$ 与 $dx$ 的比例。

实际上，在微积分的世界中，微分的本身可以被认为是很微小的一个元素。因为对于一个量来说，其本身是可以无限分割的，因此微分的本身是可以达到无穷小的。但我们主要研究的重点并不在于其本身，而是在于其变化的速率；换句话说，即便微分本身是非常小的，但其反映的相关变量之间速率的变化的关系（也就是导数，两个微分的比例）不会很小。

我们可以将线性近似与微分做一个比较。两者实际上非常类似；我们可以将线性近似视作有限步 / 离散的微分。因此，微分也可以用于表示变量的变化率；而且这种变化的精度是非常高的。



图片来源：EDX MIT 6.001积分课程插图 即：

• 线性近似：$\Delta F \approx F'(x)\Delta x $
• 微分：$dF = F'(x)dx$

• 两个函数和的微分公式：$\displaystyle d (F+G) = \displaystyle dF+dG$
• 与常数乘积的微分公式：$\displaystyle d(k\cdot F) = \displaystyle k \, dF$
• 两个函数乘积的微分公式：$\displaystyle d(F\cdot G) = \displaystyle \left(F' \cdot G+ F\cdot G'\right) \, dx= G(dF) +F(dG)$

线性近似的关键点在于：使用某一点 $x_0$ 处切线的斜率（导数）加上该点的坐标求出一个线性函数，用该线性函数来模拟得到另外一点在原函数上的值。

通常情况下，线性近似模拟出的在 $y$ 上的变化率 $\Delta y$ 可以用以下公式计算：

$$ f(x+\Delta x) \approx y + \Delta y $$ 从前面的知识我们可以得知，微分也是用于代表变化率的；它与线性近似中的变化率唯一的区别就是它可以无限细分。很显然，如果要使用微分来求解线性近似的问题，我们只需要直接将微分当做这里的变化率，带进先前的线性近似公式即可，即：

$$ f(x + dx) \approx y + dy $$

例A：现有函数 $f(x) = \sqrt{10x - x^2}$，其中 $f(2) = 4, f(3) = \sqrt{21}$。使用微分在 $x_0 = 2$处进行线性近似，估算 $\sqrt{21}$ 的值。

本题需要求 $f(3)$ 的值，因为已知 $f(2)$ 的值，很容易想象到的是 $f(3) = f(2+1)$。按照之前的公式：$f(x + dx) = y + dy$，可以得知此处：

1. $dx = 1$
2. $x = 2$
3. $y = 4$

那么整个公式就可以写成：
$$ f(2 + 1) = 4 + dy $$

因此，我们只需要求得 $x=2$ 时，按照线性近似计算出的变化率 $dy$ 即可。根据微分公式，则有：

$$ dy = \left.\displaystyle \frac{dy}{dx}\right|_{x=2} dx $$
直接对 $f(x)$ 求导，再将$x=2$ 计算出的导数，这样即可得到 $dy$ 的值。最后将 $dy$ 的值与原函数在 $x=2$ 处的值相加，即可得到结果（具体过程略）。

注：这里不定积分指 Anti-derivatives，正式用法是 Indefinite integral，中文未做区分。

先来看看不定积分的定义：

An antiderivative (Indefinite integral) of f(x) is any function F(x) such that
$$\displaystyle F'(x)\, = f(x).$$

换句话说，$f(x)$ 的不定积分，可以是任意导数为 $f(x)$ 的函数。

为什么会称之为不定积分？

举一个例子：$\displaystyle \int sin(x) dx = ?$ 我们很容易的就想到因为 $-cos(x)$ 的导数是 sin(x)，因此 $\displaystyle \int sin(x) dx = -cos(x)$。

不过我们也知道，常数项在求导以后会变为 $0$，假设 $C$ 为常数，那么很显然 $-cos(x) + C$ 的导数也是 $sin(x)$。这就意味着，$\displaystyle \int sin(x) dx$ 不但可以为 $-cos(x)$，也可以是 $-cos(x)$ 加上任意常数 $C$。由于这种性质，我们把这样的积分称之为不定积分。正式的定义如下：

Given a function $f(x)$, the indefinite integral or the antiderivative of $f(x)$ is denoted $\displaystyle \int f(x)dx$. It is the family of functions:
$$\displaystyle \int f(x) \, dx \, = F(x) + C$$
where $F(x)$ is any antiderivative of $f(x)$, that is, $F'(x)=f(x)$, and $C$ is any constant.

我们称 $\displaystyle \int$ 为积分符号(integral sign), $f(x)$ 为被积函数 (integrand), and $C$ 为积分常数(constant of integration)。

从几何意义上来说，不定积分就像是已知斜率而去求原来函数的表达式一样。这样的函数只要满足指定的斜率即可。而满足指定斜率的函数可以由无数多个；表现在几何上就是一堆平行的函数。

因此，相同的两个不定积分的差，一定是一个常数。

根据 Power Rule 可知，一般幂函数微分的形式可以写作：

$$ d(x^{a+1}) = (a+1)x^adx \tag{2.4.1} $$ 对该形式变形：

$$ x^adx = \frac {d(x^{a+1})}{a+1} $$

对两边同时取积分，我们可以推出对幂函数积分的一般公式：

$$ \int x^adx = \frac{x^{a+1}}{a+1} +C \tag{2.4.2} $$
不过这里有一个问题。对比结论 $2.4.1$ 与 $2.4.2$ 我们发现，在 $2.4.2$ 中， $a+1$ 做了分母，因此 $a$ 不能等于 $-1$。因此，我们需要对 $a=-1$ 的情况单独讨论。

我们将 $a=1$ 的情况直接带入 $2.4.2$ 的左边部分，结果有了新的发现：

$$ \int \frac{dx}{x} $$
这个被积函数非常明显，一看就是 $lnx$ 的导数。根据对数的求导公式，我们可以计算该积分为：

$$ \int \frac{dx}{x} = lnx + C $$
不过这里还有一个问题。我们知道 $lnx$ 只有在大于 $0$ 的时候才存在。那么当 $x < 0$ 时情况有怎么样呢？

我们需要构造一个函数，使得 $ln$ 内部的元素大于 $0$。 因此，有：

\begin{align} \frac{d}{dx}ln|x| &= \frac{d}{dx}ln(-x) \\\\ &= \frac{1}{-x} \cdot \frac{d}{dx}(-x) \\\\ &= \frac{1}{x} \end{align}

我们发现对于 $|x|$，无论 $x$ 的正负，其导数的值都是 $\frac{1}{x}$，因此，在 $a=-1$ 的情况下，幂函数函数的公式可以总结为：

$$ \int \frac{dx}{x} = \ln \left(|x|\right)+C $$

综上， 幂函数的不定积分公式可以归纳为：

$$ \displaystyle \int \, x^ p\ dx \, \, = \qquad \begin{cases} \displaystyle \frac{x^{p+1}}{p+1} +C & \mbox{if } p \neq -1 \\ \ln \left(|x|\right)+C & \mbox{if } p = -1. \end{cases} $$

积分作为微分的逆运算，是需要通过中值定理来保证结果的；也就是说，如果我们希望对某个函数求积分，那么该函数的原函数必须在指定的区间上连续而且处处可微（中值定理的前提）。如果中间不连续，那么我们必须严格的按照分段来讨论。否则，我们无法保证求出来的表达式是否正确。

根据求导的公式我们可以总结一些不定积分的公式如下：

• $\displaystyle \int e^ x \, dx=e^ x+C$
• $\displaystyle \int \cos (x) \, dx=\sin (x)+C$
• $\displaystyle \int \frac{1}{1+x^2} \, dx=\arctan (x)+C$
• $\displaystyle \int \frac{1}{\sqrt {1-x^2}} \, dx=\arcsin (x)+C$
• $\displaystyle \int \sec (x)\tan (x) \, dx=\sec (x)+C$

该性质如下：

$$ \displaystyle \int k \, f(x)\, dx= k \int \, f(x) \, dx $$

简易证明：令 $F' = f$，那么 $(kF') = kF' = kf$ ，因此可得：
$$ \displaystyle \displaystyle \int k \, f(x) \, dx\ =\ k F(x)+C $$
根据上式，我们有：
$$\displaystyle \displaystyle k \ \left(\int \, f(x)\, dx\right) \ =\ k \cdot (F(x)+C) = k F(x) +k\cdot C \ =\ k F(x) + C_1$$
可以看出 $\displaystyle \int k \, f(x)\, dx$ 与 $ \displaystyle k \ \left(\int \, f(x)\, dx\right)$ 的结果差异仅在一个常数上。他们表现的是拥有相同导数的一组函数中的某一员，对于不定积分来说，两者是等价的。

该性质表现为如下公式：

$$ \displaystyle \int \left(f(x)+g(x)\right)\, dx= \int f(x) \, dx + \int g(x) \, dx $$

简易证明：

令 $F' = f, G' = g$，那么 $(F+G)' = F' +G' = f+g$。

根据上述结果，我们有：

$$ \displaystyle \int \left(f(x)+g(x)\right) \, \, dx\ =\ F(x)+G(x) +C $$

又因为：
\begin{align} \displaystyle \displaystyle \int f(x)\, dx +\int g(x) \, dx &= \displaystyle \ (F(x)+C_1) +(G(x) +C_2)\\\\ &= \displaystyle F(x)+G(x)+(C_1+C_2) \end{align} 前面提到，在不定积分中，可以认为只有常数不同的函数是等价的；因此之前的性质成立。

该性质表现为如下：

$$\displaystyle \displaystyle \int f\cdot g\, \, dx \,\, \displaystyle \textbf{DOES NOT EQUAL} \,\, \displaystyle \ \left( \int \, f \, dx\right)\cdot \left(\int \, g \, dx\right)$$
$$\displaystyle \int \frac{f}{g} \, dx \,\, \displaystyle \textbf{DOES NOT EQUAL} \,\, \displaystyle \frac{ \int f \, dx }{ \int g\, dx}$$

以上的性质均可通过导数的性质进行验证。

首先来看一个例子：

$$\int 3(sin(x))^2cos(x)dx$$

这样的乘积形式并不是我们之前遇到的基本形式，也不能应用第一准则。但我们可以发现的是，$cos(x)$ 正好是 $sin(x)$ 的导数。于是我们令 $u =sin(x)$，那么实际上这个积分就可以转换为：

$$\int 3u^2u' dx$$

接下来我们对 $u$ 进行 $x$ 的微分，那么有：$du = cos(x)dx = u'dx$。那么式子就可以转化为：

$$\int 3u^2 \cdot du$$

于是我们根据基本的幂函数积分公式就可以求得上述的积分结果，再将 $u =sin(x)$ 代入该积分结果即可得到最终结果。


上面的方法在遇到某些乘积形式的积分时（实际上是 Chain Rule 微分的一种表现形式）非常有用；我们将这种通过替换部分函数简化运算的方法称为换元法（Method of substitution）。来看一看正式的定义：

The method of substitution is the integration analogue of the chain rule, If:
$$g(x)dx = \displaystyle f(u(x)) \, u'(x) dx,$$
that is, the integrand $g(x)$ can be seen as the result of a chain rule, then:
\begin{align} \displaystyle \displaystyle \int g(x)\, dx &= \displaystyle \int f(u(x))\, u'(x)\, dx\\\\ &=\displaystyle \int f(u)\, du\\\\ &=\displaystyle F(u(x))+C \end{align}

假设我们有如下不定积分:
$$y=\int f(x)dx$$

我们知道上述积分的结果是导数为 $f(x)$ 的所有函数的集合。如果把这个集合作为解，我们可以得到如下的方程：
$$\frac{dy}{dx} = f(x)$$

很显然，之前的积分结果就是上述方程的解。但为什么非要写成这种形式呢？

来看一个物理学中的例子：$F=ma$。我们知道，$a$ 是物体的加速度，也就是距离之于时间的二阶导数。如果将距离表示为 $x$，那么上述的方程可以写为：

$$F=m \frac{dv}{dt} = m \frac{d^2x}{dt^2}$$

假设上面的例子中，我们并不能直接得到 $F$ 与 $a$ 之间的关系, 而只拥有 $t$ 与 $x$ 的关系：（加速度 $\displaystyle \frac{d^2x}{dt^2}$。这种情况下，我们需要通过加速度来求力的表达式。
可以看到的是，上述方程中加速度代表了个变量的变化率的关系（表现为微分形式），然后希望得到的是一个另外两个变量新的关系（力）。因此可以看出，整个方程的求解的过程，就是通过一个函数（关系）得到另外一个函数（关系）。

因为在微积分中，两个变量的关系往往可以表达为导数（微分）的形式，因此我们将这样的方程，称作微分方程（Differential equation）。而积分，则代表了满足该方程的所有的解的集合。换句话说，微分方程的解，是一系列符合条件的函数。

为了计算过程中的方便，数学上往往将微分的过程记做：$\displaystyle \frac{d}{dx},\, or \,D_x$。该形式可以看做是一个运算符，我们称为微分算子（Differential operator）。微分算子代表了一个运算过程：接受一个函数，得到另外一个函数。对于微分算子，有以下等价的关系：

$$ \frac{d}{dx}(f(x)) = \frac{df}{dx} = f'(x) $$

有一些微分方程的形式是可分解（Separable）的，比如如下的方程：
$$ \frac{dy}{dx} = xy $$
这样的微分方程乍一看有两个变量，不是很好求解。但实际上，这样的方程可以分解为如下形式：

$$ \frac{dy}{y} = dx\cdot x $$
我们对方程两边分别求积分：
$$ \int \frac{dy}{y} = \int xdx $$
通过上面的步骤就可以得到 $y$ 的最终表达式，也就是本例微分方程的解了。

前面提到微分方程的解是一系列满足条件的函数。如果我们需要指定其中的某一个函数，我们可以通过指定对应的变量值来确定这个函数。这一组对应的变量值，被称为初始条件（Initial Conditions）。通过将这一组变量值代入微分方程的通用解，我们可以求出常数 $C$ 在该特定条件下的值，从而得出该特定函数的表达式。比如如下例子：

$\displaystyle \ \frac{dy}{dx} = y$ 的通用解是 $\displaystyle y = Ce^x$，如果我们已知初始条件 $y(0) = -2$ （即函数过点 $(0,-2)$），那么将这一组值代入通用解表达式计算可得出 $C$ 的值，从而可以得出该微分方程过 $(0,-2)$ 的独特解为 $y=-2e^x$。

然而，并不是所有的初始条件都可以得到微分方程的独特解。对于这种情况，有一个定理如下：

Given a differential equation $\displaystyle \frac{dy}{dx}=f(x)g(y)$ and an initial condition $y(a)=b$, if $f, g$, and $g′$ are continuous near $(a,b)$, then there is a unique function $y$ whose derivative is given by $f(x)g(y)$ and that passes through the point $(a,b)$.

可以看出来，确保有独特解必须要两个条件：

• 微分方程可分解 （$f(x)g(y)$ 形式）
• 方程内所有函数必须连续。
• 被微函数的导数必须连续。

有一些微分方程是不能被分解的。对于此类方程，我们可以用近似的方法来获取他的图像。我们知道导数是用于描述函数运动趋势的，因此我们可以采样一些点（初值），来看看函数的大概的走势如何。

因为微分方程的左边都可以看作是函数在某点切线的斜率，根据微分方程，我们代入初始条件的值就可以直接得到函数在该点斜率的值。如果我们拥有了足够的点，对函数的大致走向就会有一定的了解。 来看一个例子：$\displaystyle \frac{dy}{dx} = x+y$，该函数的斜率图如下所示：



图片来源：EDX MIT 6.001 Calculus B

有了上述的图，我们可以判断函数的大致的走势了。那么有没有一种方法可以将函数计算出来？

到目前为止，我们可以用近似的方法来描绘函数。

来想象一下要怎么描绘这个函数：

1. 因为我们有斜率图，因此我们可以最大程度的利用这些信息。
2. 假设函数从某一点 $x_0$ 出发，也就是我们已知了函数对应的微分方程和初始条件值。
3. 设想该函数通过某一个点 $x_1$，而该点离 $x_0$ 够近。

通过上面几个步骤，我们就能得到：

• 方程在 $x_0$ 的初始条件值，以及在该点的斜率 $\displaystyle \frac {dy}{dx_0}$
• 方程在 $x_0$ 附近的一个点 $x_1$ 处的近似值。

上面的条件是不是很眼熟？没错，我们的近似计算只需要这几个条件即可。在这里我们使用线性近似为例，根据以上条件，我们可以得到方程在 $x_1$ 点处的近似值：

$$ f(x_1) = f(x_0+ \Delta x) = \frac {dy}{dx_0} \cdot \Delta x + f(x_0) $$

通过以上这两步，我们就可以描绘出原函数其中的一段了。接下来，我们可以以当前的 $x_1$ 为新的起点，重复之前的步骤，找出 $x_1$ 下一个点 $x_2$ 之间的函数近似图像。这样反复的迭代，最终可以得到一条由线性近似的函数组成的“曲线”：


图片来源：WikiPedia

我们将上述描绘函数的方法称之为欧拉方法（Euler's Method）。该方法同样适用于求解不可分解的微分方程。

可以想到的是，当我们把上述方法中的 $\Delta x$ 减小以后，我们可以通过更多的迭代步骤得到更高的精度。

来总结一下欧拉方法的步骤：

1. 确定 $\Delta x$，也就是精度的大小（此处记为 $h$ ）
2. 设定初始条件值，也就是函数的出发点 $(x_0, y_0)$
3. 根据线性近似我们可以算出下一个点的坐标，即：
   1. $x_1 = x_0+h$
   2. $y_1 = y_0+(x_0+y_0)h$
4. 很显然，我们可以得到上述步骤的迭代表达式：
   1. $x_{k+1} = x_k+h$
   2. $y_{k+1} = y_k+(x_k+y_k)h$

该方法的 python 版本如下：

#set initial condition
x,y = x0, y0

#set step size
h=0.1

#count iterations of method
stepcounter = 0

#determine how many steps to take
while stepcounter < 1000:
   y= y+(x+y)*h
   x+=h
   stepcounter+= 1

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