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| math:calculus:mooc:mit_1801x:a:limits [2023/04/15 01:44] – ↷ 页面math:calculus:mooc:mit_1801_1x:a:limits被移动至math:calculus:mooc:mit_1801x:a:limits codinghare | math:calculus:mooc:mit_1801x:a:limits [2023/12/28 10:45] (当前版本) – [简单证明] codinghare | ||
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| 行 20: | 行 20: | ||
| ===左极限和右极限=== | ===左极限和右极限=== | ||
| 根据上面的推理我们可以描述一下左极限和右极限的定义：\\ | 根据上面的推理我们可以描述一下左极限和右极限的定义：\\ | ||
| - | \\ | + | \\ |
| + | {{ : | ||
| 右极限可以被定义为：\\ | 右极限可以被定义为：\\ | ||
| \\ | \\ | ||
| - | |||
| >Suppose $f(x)$ gets really close to $R$ for values of $x$ that get really close to (but are not equal to) a from the right. Then we say $R$ is the <wrap em> | >Suppose $f(x)$ gets really close to $R$ for values of $x$ that get really close to (but are not equal to) a from the right. Then we say $R$ is the <wrap em> | ||
| \\ | \\ | ||
| 行 50: | 行 50: | ||
| * 左极限和右极限存在，但不相等 | * 左极限和右极限存在，但不相等 | ||
| * 左右极限可能趋向于无穷大，无穷小 | * 左右极限可能趋向于无穷大，无穷小 | ||
| - | * 左右极限可能会在某个区间内反复摇晃（比如 sinx) | + | * 左右极限可能会在某个区间内震荡（比如 sinx) |
| ====极限的定义==== | ====极限的定义==== | ||
| 行 86: | 行 86: | ||
| （以加法为例子）： | （以加法为例子）： | ||
| 假设有 $\displaystyle {\lim _{x\rightarrow a} f(x) = L}$ 和 $\displaystyle {\lim _{x\rightarrow a} g(x) = M}, | 假设有 $\displaystyle {\lim _{x\rightarrow a} f(x) = L}$ 和 $\displaystyle {\lim _{x\rightarrow a} g(x) = M}, | ||
| - | $$ | + | \\ |
| - | \begin{eqnarray} | + | \[ |
| + | \begin{align*} | ||
| f(x) = L + \varepsilon_1 \\ | f(x) = L + \varepsilon_1 \\ | ||
| g(x) = M + \varepsilon_2 \\ | g(x) = M + \varepsilon_2 \\ | ||
| - | \end{eqnarray} | + | \end{align*} |
| - | $$ | + | \] |
| + | \\ | ||
| 因此，有 $$f(x) + g(x) = L + M + \varepsilon_1 + \varepsilon_2$$ | 因此，有 $$f(x) + g(x) = L + M + \varepsilon_1 + \varepsilon_2$$ | ||
| 行 133: | 行 136: | ||
| 如果 $f(x)$ 在点 $a$ 的左右极限都存在但是不相等，我们就称 | 如果 $f(x)$ 在点 $a$ 的左右极限都存在但是不相等，我们就称 | ||
| \\ | \\ | ||
| - | {{ math: | + | {{ math: |
| \\ | \\ | ||
| 如果 $f(x)$ 在点 $a$ 的左右极限都存在且相等，但 $f(a)$ 不存在，我们就称 $f(x)$ 在点 $a$ 是 //Removable discontinuity// | 如果 $f(x)$ 在点 $a$ 的左右极限都存在且相等，但 $f(a)$ 不存在，我们就称 $f(x)$ 在点 $a$ 是 //Removable discontinuity// | ||
| \\ | \\ | ||
| - | {{ math: | + | {{ math: |
| ===介值定理=== | ===介值定理=== | ||
| 行 170: | 行 173: | ||
| 可以采取的策略是，简化函数，使其满足分子分母都不为 0 的形式，比如多项式可以通过因式分解： | 可以采取的策略是，简化函数，使其满足分子分母都不为 0 的形式，比如多项式可以通过因式分解： | ||
| $$ | $$ | ||
| - | \begin{align} | + | \begin{align*} |
| \displaystyle {\lim _{x\rightarrow 1} \frac{x^2+2x-3}{x^2-3x+2} } | \displaystyle {\lim _{x\rightarrow 1} \frac{x^2+2x-3}{x^2-3x+2} } | ||
| &= {\lim _{x\rightarrow 1} \frac{(x-1)(x+3)}{(x-1)(x-2)} } \\ | &= {\lim _{x\rightarrow 1} \frac{(x-1)(x+3)}{(x-1)(x-2)} } \\ | ||
| &= {\lim _{x\rightarrow 1} \frac{x+3}{x-2} } \\ | &= {\lim _{x\rightarrow 1} \frac{x+3}{x-2} } \\ | ||
| &= 4 | &= 4 | ||
| - | \end{align} | + | \end{align*} |
| $$ | $$ | ||
| 如果简化的情况转移到了第二种 $0/~0$ 的情况，则极限不存在。 | 如果简化的情况转移到了第二种 $0/~0$ 的情况，则极限不存在。 | ||
| 行 181: | 行 184: | ||
| 某些函数的极限可以归类到无穷大 / 无穷小的情况。这种情况下，如果希望知道函数极限的趋势，那么需要从左和右趋近点，来看 overall limit 是否会有一个总的趋势。如果两个方向的趋势不同，则极限不存在。 | 某些函数的极限可以归类到无穷大 / 无穷小的情况。这种情况下，如果希望知道函数极限的趋势，那么需要从左和右趋近点，来看 overall limit 是否会有一个总的趋势。如果两个方向的趋势不同，则极限不存在。 | ||
| ====References==== | ====References==== | ||
| - | * summary PDFs：{{ math: | + | * summary PDFs：{{ math: |