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MITx: 18.01.1x Calculus 1A notes
理解极限可以从无穷数列开始。
我们在高中的时候见过不少的无穷数列。其中的一些无穷数列收敛于一个实数 L。我们通常把 L 称为该数列的极限。
而数列本身可以看做是自然数到实数 N→L 的一个函数;因此我们就可以把极限的概念从数列转到函数上:当函数的自变量 n 趋近于 ∞+ 的时候,f(n)的值无限趋近于 L。
在刚提到的无穷数列所表达的函数中, 数列函数的自变量 n 是无限趋近于 ∞+ 的。我们来试想一下如果 n 的值无限趋近于一个数列上某一个点 a 的情况下,那么函数的极限又会怎么样呢?
结果很好猜测。我们把 a 代入函数,得到的结果是 f(a)。因此不难得出,当 n→a 的时候,是有 f(x)−>f(n)的。
看起来好像 f(n) 应该是数列在 a 点的极限了。不过这里又有另外一个问题。在数列中,我们的 n 到底是在 a 的左边还是右边?这两种可能性导致了我们需要考虑两种情况:n 从左边或者右边无限趋近于 a,也就是说,我们的 f(n) 也有两种情况,即在 a 的左边或者右边。因此,对数列上的一个点我们实际上有两个极限:左极限和右极限。
根据上面的推理我们可以描述一下左极限和右极限的定义:
右极限可以被定义为:
Suppose f(x) gets really close to R for values of x that get really close to (but are not equal to) a from the right. Then we say R is the right-hand limit of the function f(x) as x approaches a from the right.
记做:x→a+limf(x)=R
左极限的定义类似:
If f(x) gets really close to L for values of x that get really close to (but are not equal to) a from the left, we say that L is the left-hand limit of the function f(x) as x approaches a from the left.
记做:x→a−limf(x)=L.
判断一个极限是否存在,首先要明白:函数 f(x) 在 a 点的极限,指的是当 x 从左右同时趋近于 a 时的极限。只有当 f(x) 在 a 点的左极限和右极限存在且相等时候,我们才说,函数的极限存在: x→a+limf(x)=x→a−limf(x)=L then x→alimf(x)=L
我们也来看看正式的数学定义:
For all ε>0, there exists some δ>0 such that if 0<∣x−a∣<δ, then ∣f(x)−L∣<ε.
来看看这个公式里都有什么新的:ε, δ。这两个量是作为距离的描述:
总的来说,这两个量用于描述一个非常小的距离:
证明极限存在需要满足上述的这两个表达中的:
极限可以做 +
、-
、*
、/
运算。
假设我们有:x→alimf(x)=L,x→alimg(x)=M:,则:
(以加法为例子):
假设有 x→alimf(x)=L 和 x→alimg(x)=M,,可知:
f(x)=L+ε1g(x)=M+ε2
因此,有 f(x)+g(x)=L+M+ε1+ε2
当 x→a 时,ε1,ε2→0,因此
x→alim[f(x)+g(x)]=L+M
同理可证其他的极限定理。
当在 x=a 的时候,如果有 x→alimf(x)=f(a),则我们称函数 f(x) 在点 a 处连续(Continuous)。显然,f(x) 在 a 处连续时,极限是非常好计算的。
连续也分左右:
如果函数 f 在其定义域上的所有点都连续,则称该函数 f 是连续的。这种类型的连续也被称为 Overall continuity。
上面的函数很多都可以表示为函数运算的的形式。我们可以利用来证明函数连续性是与单个函数的连续性相关(以乘法为例子):
假设有f(a), f(b) 在实数定义域上连续。根据连续的定义,可得:x→alimf(x)=f(a) 且 x→blimf(x)=f(b)。
由 x→alim[f(a)⋅g(b)]=x→alimf(a)⋅x→blimf(b)=f(a)⋅f(b),可知复合函数f(a)⋅f(b) 也是连续的。该证明可以推广到加法和减法,以及复合函数。
除法的话,只在 f/g 有定义的区域连续。
当然,如果x→alimf(x) 或者 f(a) 不存在,那么很显然 f(x) 在 a 点是不连续的。而不连续(Discontinuity)大概分两种种类:Jump discontinuity 和 Removable discontinuity 。
如果 f(x) 在点 a 的左右极限都存在但是不相等,我们就称 f(x) 在点 a 是 Jump discontinuity。
如果 f(x) 在点 a 的左右极限都存在且相等,但 f(a) 不存在,我们就称 f(x) 在点 a 是 Removable discontinuity。
介值定理(Intermediate Value Theorem)的定理如下:
If f is a function which is continuous on the interval [a,b], and M lies between the values of f(a) and f(b), then there is at least one point c between a and b such that f(c)=M.
f(c)=M 意味着 f 与 M 代表的直线相交。那么这样就好理解了,如果有两个点分别处于 y=M 的上下方,且通过该两点的函数是连续的,则该函数必与 M 必至少有一个交点。
几个需要注意的点:
IVT 只能应用在实数范围内。也就是说,只有实数范围才能确保函数的连续性;如果限制该范围,比如说有理数的范围,则某一些点将会被跳过(比如 e, pi,无理数等等)。这种情况下,函数是离散的,因此我们不能确保该函数一定会与 y=M 相交。
极限的商分好几种情况:
如果函数是连续的,直接求分母分子在该点的值即可。该值等于函数在该点的极限,相除之后则是结果,比如:
x→0limx2−3x+2x+2x−3=2−3
可以采取的策略是,简化函数,使其满足分子分母都不为 0 的形式,比如多项式可以通过因式分解: x→1limx2−3x+2x2+2x−3=x→1lim(x−1)(x−2)(x−1)(x+3)=x→1limx−2x+3=4 如果简化的情况转移到了第二种 0/ 0 的情况,则极限不存在。
某些函数的极限可以归类到无穷大 / 无穷小的情况。这种情况下,如果希望知道函数极限的趋势,那么需要从左和右趋近点,来看 overall limit 是否会有一个总的趋势。如果两个方向的趋势不同,则极限不存在。