What & How & Why

Limits & Continuity

MITx: 18.01.1x Calculus 1A notes


极限是什么?

理解极限可以从无穷数列开始。

我们在高中的时候见过不少的无穷数列。其中的一些无穷数列收敛于一个实数 LL。我们通常把 LL 称为该数列的极限。

而数列本身可以看做是自然数到实数 NLN \to L 的一个函数;因此我们就可以把极限的概念从数列转到函数上:当函数的自变量 nn 趋近于 +\infty^+ 的时候,f(n)f(n)的值无限趋近于 LL

在刚提到的无穷数列所表达的函数中, 数列函数的自变量 nn 是无限趋近于 +\infty^+ 的。我们来试想一下如果 nn 的值无限趋近于一个数列上某一个点 aa 的情况下,那么函数的极限又会怎么样呢?

结果很好猜测。我们把 aa 代入函数,得到的结果是 f(a)f(a)。因此不难得出,当 nan \to a 的时候,是有 f(x)>f(n)f(x) -> f(n)的。

看起来好像 f(n)f(n) 应该是数列在 aa 点的极限了。不过这里又有另外一个问题。在数列中,我们的 nn 到底是在 aa 的左边还是右边?这两种可能性导致了我们需要考虑两种情况:nn 从左边或者右边无限趋近于 aa,也就是说,我们的 f(n)f(n) 也有两种情况,即在 aa 的左边或者右边。因此,对数列上的一个点我们实际上有两个极限:左极限和右极限

左极限和右极限

根据上面的推理我们可以描述一下左极限和右极限的定义:



右极限可以被定义为:

Suppose f(x)f(x) gets really close to RR for values of xx that get really close to (but are not equal to) a from the right. Then we say RR is the right-hand limit of the function f(x)f(x) as xx approaches aa from the right.



记做:limxa+f(x)=R\displaystyle {\lim _{x\rightarrow \mathbf{a^+}} f(x) = R}

左极限的定义类似:

If f(x)f(x) gets really close to LL for values of xx that get really close to (but are not equal to) a from the left, we say that LL is the left-hand limit of the function f(x)f(x) as xx approaches a from the left.



记做:limxaf(x)=L.\displaystyle {\lim _{x\rightarrow \mathbf{a^-}} f(x) = L}.

极限是否存在?

判断一个极限是否存在,首先要明白:函数 f(x)f(x)aa 点的极限,指的是当 xx 从左右同时趋近于 aa 时的极限。只有当 f(x)f(x)aa 点的左极限和右极限存在且相等时候,我们才说,函数的极限存在: limxa+f(x)=limxaf(x)=L \displaystyle {\lim _{x\rightarrow a^+} f(x)} = \displaystyle {\lim _{x\rightarrow a^-} f(x)} = L then limxaf(x)=L \displaystyle {\lim _{x\rightarrow a} f(x) = L}

其他可能极限不存在的情况
  • 左极限和右极限存在,但不相等
  • 左右极限可能趋向于无穷大,无穷小
  • 左右极限可能会在某个区间内震荡(比如 sinx)

极限的定义

我们也来看看正式的数学定义:

For all ε>0ε>0, there exists some δ>0δ>0 such that if 0<xa<δ0<|x−a|<δ, then f(x)L<ε|f(x)−L|<ε.

ε和δ

来看看这个公式里都有什么新的:εε, δδ。这两个量是作为距离的描述:

  • εε 描述 f(x)f(x)LL 的距离 。
  • δδ 描述 xxaa 的距离。

总的来说,这两个量用于描述一个非常小的距离:

  1. 0<xa<δ0<|x−a|<δ 代表 xxaa 的距离处于一个非常小的范围 δδ 内。
  2. 同理,f(x)L<ε|f(x)−L|<ε 表明 f(x)f(x)LL 的距离也处于一个非常小的范围 εε

证明极限存在需要满足上述的这两个表达中的:

  • εε 可以是任意值
  • εε 可以通过任意的,与 aa 点距离小于 δδxx 来满足,也就是通过 xx 总是可以得到 f(x)f(x),其与极限值 LL 的距离始终小于 εε

极限的运算法则

极限可以做 +-*/ 运算。

假设我们有:limxaf(x)=L\displaystyle {\lim _{x\rightarrow a} f(x) = L}limxag(x)=M:\displaystyle {\lim _{x\rightarrow a} g(x) = M}:,则:

  • limxa[f(x)+g(x)]\displaystyle {\lim _{x\rightarrow a} \left[f(x)+g(x)\right] } == L+ML+M:和的极限是极限的和。
  • limxa[f(x)g(x)]\displaystyle {\lim _{x\rightarrow a} \left[f(x)-g(x)\right] } == LML-M:差的极限是极限的差。
  • limxa[f(x)g(x)]\displaystyle {\lim _{x\rightarrow a} \left[f(x)\cdot g(x)\right] } == LML\cdot M:乘积的极限是极限的乘积

简单证明

(以加法为例子): 假设有 limxaf(x)=L\displaystyle {\lim _{x\rightarrow a} f(x) = L}limxag(x)=M,\displaystyle {\lim _{x\rightarrow a} g(x) = M},,可知:
f(x)=L+ε1g(x)=M+ε2 \begin{align*} f(x) = L + \varepsilon_1 \\ g(x) = M + \varepsilon_2 \\ \end{align*}

因此,有 f(x)+g(x)=L+M+ε1+ε2f(x) + g(x) = L + M + \varepsilon_1 + \varepsilon_2

xax \to a 时,ε1,ε20\varepsilon_1, \varepsilon_2 \to 0,因此

limxa[f(x)+g(x)]=L+M\displaystyle {\lim _{x\rightarrow a} \left[f(x)+ g(x)\right] } = L + M

同理可证其他的极限定理。

连续

当在 x=ax=a 的时候,如果有 limxaf(x)=f(a)\displaystyle {\lim _{x\rightarrow a} f(x) } = f(a),则我们称函数 f(x)f(x) 在点 aa连续Continuous)。显然,f(x)f(x)aa 处连续时,极限是非常好计算的。

连续也分左右:

  • 如果 limxa+f(x)=f(a)\displaystyle {\lim _{x\rightarrow a^+} f(x) } = f(a),那么我们称 f(x)f(x)aa 点右连续。
  • 如果 limxaf(x)=f(a)\displaystyle {\lim _{x\rightarrow a^-} f(x) } = f(a),那么我们称 f(x)f(x)aa 点左连续。

Overall continuity

如果函数 ff 在其定义域上的所有点都连续,则称该函数 ff连续的。这种类型的连续也被称为 Overall continuity

  • 常见的连续函数有:
    • 所有的多项式
    • cosx\cos xsinx\sin x
    • axa^xa>0a > 0
    • x3\sqrt [3]{x}x|x|
  • 带条件的常见连续函数有:
    • logax\log _{a} xa>0a > 0x>0x > 0
    • tanx\tan x 在所有定义过的 xx
    • x\sqrt {x}x>0x>0
Limit Laws and Continuity

上面的函数很多都可以表示为函数运算的的形式。我们可以利用来证明函数连续性是与单个函数的连续性相关(以乘法为例子): 假设有f(a)f(a)f(b)f(b) 在实数定义域上连续。根据连续的定义,可得:limxaf(x)=f(a) \displaystyle {\lim _{x\to a} f(x) } = f(a)limxbf(x)=f(b)\displaystyle {\lim _{x\to b} f(x) } = f(b)

limxa[f(a)g(b)]=limxaf(a)limxbf(b)=f(a)f(b) \displaystyle{\lim _{x\rightarrow a} \left[f(a)\cdot g(b)\right] } = {\lim _{x\to a}f(a) \cdot {\lim _{x\rightarrow b}f(b) } = f(a) \cdot f(b) },可知复合函数f(a)f(b)f(a) \cdot f(b) 也是连续的。该证明可以推广到加法和减法,以及复合函数。

除法的话,只在 f/gf/g 有定义的区域连续。

不连续的种类

当然,如果limxaf(x)\displaystyle {\lim _{x\rightarrow a} f(x) } 或者 f(a)f(a) 不存在,那么很显然 f(x)f(x)aa 点是不连续的。而不连续(Discontinuity)大概分两种种类:Jump discontinuityRemovable discontinuity

如果 f(x)f(x) 在点 aa 的左右极限都存在但是不相等,我们就称 f(x)f(x) 在点 aaJump discontinuity


如果 f(x)f(x) 在点 aa 的左右极限都存在且相等,但 f(a)f(a) 不存在,我们就称 f(x)f(x) 在点 aaRemovable discontinuity

介值定理

介值定理(Intermediate Value Theorem)的定理如下:

If f is a function which is continuous on the interval [a,b][a,b], and MM lies between the values of f(a)f(a) and f(b)f(b), then there is at least one point cc between aa and bb such that f(c)=Mf(c)=M.

f(c)=Mf(c)=M 意味着 ffMM 代表的直线相交。那么这样就好理解了,如果有两个点分别处于 y=My=M 的上下方,且通过该两点的函数是连续的,则该函数必与 MM 必至少有一个交点。

几个需要注意的点:

  • 区间的限定:[a,b][a,b],也就是 ffaa 点右连续,在bb点左连续,在 [a,b][a,b] 上连续
  • 我们通常令 M=0M = 0, 这样函数就成为了一个方程了。只要该函数在某个区域连续,且该区域内两点处函数值一正一副,那么该方程在该区域内必然有根。
  • 介值定理只能应用于连续的函数上,而介值定理也只能判定根的存在性,并不能判定根的具体数量。

IVT 只能应用在实数范围内。也就是说,只有实数范围才能确保函数的连续性;如果限制该范围,比如说有理数的范围,则某一些点将会被跳过(比如 ee, pipi,无理数等等)。这种情况下,函数是离散的,因此我们不能确保该函数一定会与 y=My=M 相交。

极限与商

极限的商分好几种情况:

  1. 如果 M0M \ne 0, 则 limxaf(x)g(x)=LM\displaystyle { \lim _{x\rightarrow a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{L}{M}}
  2. 如果 M=0M=0L0L \ne 0, 则 limxaf(x)g(x)\displaystyle {\lim _{x\rightarrow a} \frac{f(x)}{g(x)}} 不存在(DNE)。
  3. 如果M=0M=0L=0L=0, 则 limxaf(x)g(x)\displaystyle {\lim _{x\rightarrow a} \frac{f(x)}{g(x)}} 可能存在,也可能不存在,需要进一步的判断(比如对多项式做因式分解)。

极限求解的解决方案

分母分子都不为 0

如果函数是连续的,直接求分母分子在该点的值即可。该值等于函数在该点的极限,相除之后则是结果,比如:

limx0x+2x3x23x+2=32\displaystyle {\lim _{x\rightarrow 0} \frac{x^+2x-3}{x^2-3x+2} } = \frac{-3}{2}

0/0的情况

可以采取的策略是,简化函数,使其满足分子分母都不为 0 的形式,比如多项式可以通过因式分解: limx1x2+2x3x23x+2=limx1(x1)(x+3)(x1)(x2)=limx1x+3x2=4 \begin{align*} \displaystyle {\lim _{x\rightarrow 1} \frac{x^2+2x-3}{x^2-3x+2} } &= {\lim _{x\rightarrow 1} \frac{(x-1)(x+3)}{(x-1)(x-2)} } \\ &= {\lim _{x\rightarrow 1} \frac{x+3}{x-2} } \\ &= 4 \end{align*} 如果简化的情况转移到了第二种 0/ 00/~0 的情况,则极限不存在。

DNE 的不同情况

某些函数的极限可以归类到无穷大 / 无穷小的情况。这种情况下,如果希望知道函数极限的趋势,那么需要从左和右趋近点,来看 overall limit 是否会有一个总的趋势。如果两个方向的趋势不同,则极限不存在。

References