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math:calculus:mooc:mit_1801x:b:applications [2023/04/18 06:27] – [连续的带权平均值] codingharemath:calculus:mooc:mit_1801x:b:applications [2023/09/01 06:33] (当前版本) – [实例：加热所需的能量] codinghare
行 3: 行 3:
 ---- ----
 ====Areas and volumes==== ====Areas and volumes====
-===Area between curves===+===曲线之间的面积===
 首先思考一下，如何求下图中两个函数图像之间包裹的面积？ 首先思考一下，如何求下图中两个函数图像之间包裹的面积？
 \\ \\  \\ \\ 
行 71: 行 71:
 注意因为在下方的 $g(x)$ 通过旋转以后已经处于了 $f(x)$ 上方，因此在以 $y$ 为横坐标轴的坐标系下，$f^{-1}(y)$ 才是那个需要被减去的对象。 注意因为在下方的 $g(x)$ 通过旋转以后已经处于了 $f(x)$ 上方，因此在以 $y$ 为横坐标轴的坐标系下，$f^{-1}(y)$ 才是那个需要被减去的对象。
 </WRAP> </WRAP>
-===Volumes===+===体积===
 使用定积分求体积的思想也是基于黎曼和的。相比起 2D 面积，体积赋予**被积函数**（//integrand//）面积的意义，而细分的 $dx$ 则被视作**高**的细分。因此，求体积的过程实际上被视作了求以面积 $A(x)$ 为底，$dx$ 为高的“片”的黎曼和。表现为定积分形式即： 使用定积分求体积的思想也是基于黎曼和的。相比起 2D 面积，体积赋予**被积函数**（//integrand//）面积的意义，而细分的 $dx$ 则被视作**高**的细分。因此，求体积的过程实际上被视作了求以面积 $A(x)$ 为底，$dx$ 为高的“片”的黎曼和。表现为定积分形式即：
 \\ \\  \\ \\ 
行 177: 行 177:
 ave(f)=\frac{1}{b-a}\int_a^bf(x)dx  ave(f)=\frac{1}{b-a}\int_a^bf(x)dx 
 $$ $$
-==连续型平均值与定积分的关联==+==连续型平均值的几何解释：定积分==
 假设 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续。如果将 $[a,b]$ 细分为 $n$ 份，那么每一份的大小为： 假设 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续。如果将 $[a,b]$ 细分为 $n$ 份，那么每一份的大小为：
 $$ $$
行 220: 行 220:
   * 计算上来说，不能直接进行相除，必须要分别计算出上下的定积分再进行相除（除非上面是常数与定积分相乘的形式）   * 计算上来说，不能直接进行相除，必须要分别计算出上下的定积分再进行相除（除非上面是常数与定积分相乘的形式）
 </WRAP> </WRAP>
-==带权平均值的应用：重心==+===带权平均值的应用：重心=== 
 +重心（//center of mass//）是带权平均值的应用。重心指的是一个可以使物体处于平衡状态的**位置**，是基于位置与重量的带权平均值。 
 +==一维重心== 
 +一维重心的求解是求基于位置（此处为长度）与质量的带权平均值，即： 
 +$$ 
 +\displaystyle \bar{x} = \frac{\int _0^ L x \lambda (x)\,  dx}{\int _0^ L \lambda (x)\,  dx}. 
 +$$ 
 +从单位上来讲： 
 +  * 分子的单位为 $Len \cdot Mass/Len \cdot Len = M \cdot L$ 
 +  * 分母的单位为 $Mass/Len \cdot Len = M$ 
 +因此最终得到的结果单位为长度 $L$，也就是重心所处整个一维轴上的位置。 
 +==二维重心== 
 +二维重心是一维重心的扩展。二维重心可以被视作使得某个**带质量的面积**平衡的的点。求解二维重心可以将 $x,y$ 轴上的一维重心分别求出，最后得到一个二维的坐标即为该面积的重心。该重心也被称为 //Centorid//，也就是质量基于面积的带权平均值。 
 +\\ \\  
 +求解需要分别求出 $x,y$ 上的重心： 
 +\begin{eqnarray} 
 + \displaystyle \bar{x}\displaystyle  = \frac{\int _ a^ b x \,  dA}{\int _ a^ b dA} \displaystyle  \qquad dA = y\,  dx\\ 
 +\displaystyle \displaystyle \bar{y} = \frac{\int _ a^ b y\,  dA}{\int _ a^ b dA}\displaystyle  \qquad dA = x\,  dy 
 +\end{eqnarray} 
 + 
 + 这里的面积 $dA$ 需要根据细分的对象来表示。 
 +<WRAP center round info 100%> 
 +此处的求解方式要求整个面积上质量的分布是**均匀**（//uniform//）的。 
 +</WRAP> 
 +==实例：加热所需的能量== 
 +假设有一个盛满水的锅。锅高 $1m$，其形状满足 $y = x^2$ 曲线。现对其进行加热，已知其底部的水温为 $100C$，如果希望其顶部（开口处）的水温达到 $70C$，需要多少能量？平均水温是多少？ 
 +\\ \\  
 +{{ :math:calculus:mooc:mit_1801x:b:cauldron_example_1.png?400 |}} 
 +\\ \\  
 +对于第一个问题，首先可以明确我们需要什么样的信息。能量可以通过体积与温度的乘积来表示： 
 +$$ 
 +\displaystyle \underbrace{\text {Heat energy}}_{\text {cal}} = \underbrace{\text {(Volume)}}_{\text {mL}} \cdot \underbrace{\text {(Temperature)}}_{{}^{\circ {}} \text {Celsius}}. 
 +$$ 
 +因此只需要找出体积与温度的表达式就可以。根据 method of disk，以 $y$ 轴做细分，那么每一层的细分的体积为： 
 +$$ 
 +\pi x^2 \,  dy 
 +$$ 
 +根据温度与 $y$ 轴的关系，可知当前 $y$ 处的温度为： 
 +$$ 
 +T = 100-30y 
 +$$ 
 + 
 +因此，达到底部 $100C$，顶部 $70C$ 水温需要的总能量为： 
 +$$ 
 +\int _0^1 \left(100-30y\right)\cdot \pi y\,  dy 
 +$$ 
 +<WRAP center round box 100%> 
 +**为什么使用 //method of disk// 而不是 //method of shell//?**\\ \\  
 +此处采用了对 $y$ 进行细分，而不是 $x$。这是因为温度基于 $y$ 轴而变化；因此对于每一个 $dy$ 对应的单位体积，其温度是不变的。这样使得求 $dy$ 对应的能量总量非常方便。 
 +</WRAP> 
 +<WRAP center round tip 100%> 
 +注意单位在运算中的匹配。比如 $1cal$ 对应 $cm^3$ 与 $1C$。如果带入的体积是 $m^3$，那么需要进行换算才能得到正确的，带单位的结果。 
 +</WRAP> 
 + 
 +接下来需要求平均温度。由前面可知，能量可以表示为体积与温度的乘积。根据单位，可以判断出平均温度是基于温度与体积的带权平均值，因此只需要使用总的能量除以总的体积即可得到平均温度值，即： 
 +$$ 
 +\displaystyle \frac{\int _0^1 T\cdot \pi y \,  dy}{\int _0^1 \pi y \,  dy} 
 +$$ 
 +==work, heat & energy==
  • 最后更改: 2023/04/18 06:27
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