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math:calculus:mooc:mit_1801x:b:applications [2023/07/21 02:01] – [带权平均值的应用：重心] codingharemath:calculus:mooc:mit_1801x:b:applications [2023/09/01 06:33] (当前版本) – [实例：加热所需的能量] codinghare
行 221: 行 221:
 </WRAP> </WRAP>
 ===带权平均值的应用：重心=== ===带权平均值的应用：重心===
 +重心（//center of mass//）是带权平均值的应用。重心指的是一个可以使物体处于平衡状态的**位置**，是基于位置与重量的带权平均值。
 +==一维重心==
 +一维重心的求解是求基于位置（此处为长度）与质量的带权平均值，即：
 +$$
 +\displaystyle \bar{x} = \frac{\int _0^ L x \lambda (x)\,  dx}{\int _0^ L \lambda (x)\,  dx}.
 +$$
 +从单位上来讲：
 +  * 分子的单位为 $Len \cdot Mass/Len \cdot Len = M \cdot L$
 +  * 分母的单位为 $Mass/Len \cdot Len = M$
 +因此最终得到的结果单位为长度 $L$，也就是重心所处整个一维轴上的位置。
 +==二维重心==
 +二维重心是一维重心的扩展。二维重心可以被视作使得某个**带质量的面积**平衡的的点。求解二维重心可以将 $x,y$ 轴上的一维重心分别求出，最后得到一个二维的坐标即为该面积的重心。该重心也被称为 //Centorid//，也就是质量基于面积的带权平均值。
 +\\ \\ 
 +求解需要分别求出 $x,y$ 上的重心：
 +\begin{eqnarray}
 + \displaystyle \bar{x}\displaystyle  = \frac{\int _ a^ b x \,  dA}{\int _ a^ b dA} \displaystyle  \qquad dA = y\,  dx\\
 +\displaystyle \displaystyle \bar{y} = \frac{\int _ a^ b y\,  dA}{\int _ a^ b dA}\displaystyle  \qquad dA = x\,  dy
 +\end{eqnarray}
 +
 + 这里的面积 $dA$ 需要根据细分的对象来表示。
 +<WRAP center round info 100%>
 +此处的求解方式要求整个面积上质量的分布是**均匀**（//uniform//）的。
 +</WRAP>
 +==实例：加热所需的能量==
 +假设有一个盛满水的锅。锅高 $1m$，其形状满足 $y = x^2$ 曲线。现对其进行加热，已知其底部的水温为 $100C$，如果希望其顶部（开口处）的水温达到 $70C$，需要多少能量？平均水温是多少？
 +\\ \\ 
 +{{ :math:calculus:mooc:mit_1801x:b:cauldron_example_1.png?400 |}}
 +\\ \\ 
 +对于第一个问题，首先可以明确我们需要什么样的信息。能量可以通过体积与温度的乘积来表示：
 +$$
 +\displaystyle \underbrace{\text {Heat energy}}_{\text {cal}} = \underbrace{\text {(Volume)}}_{\text {mL}} \cdot \underbrace{\text {(Temperature)}}_{{}^{\circ {}} \text {Celsius}}.
 +$$
 +因此只需要找出体积与温度的表达式就可以。根据 method of disk，以 $y$ 轴做细分，那么每一层的细分的体积为：
 +$$
 +\pi x^2 \,  dy
 +$$
 +根据温度与 $y$ 轴的关系，可知当前 $y$ 处的温度为：
 +$$
 +T = 100-30y
 +$$
 +
 +因此，达到底部 $100C$，顶部 $70C$ 水温需要的总能量为：
 +$$
 +\int _0^1 \left(100-30y\right)\cdot \pi y\,  dy
 +$$
 +<WRAP center round box 100%>
 +**为什么使用 //method of disk// 而不是 //method of shell//?**\\ \\ 
 +此处采用了对 $y$ 进行细分，而不是 $x$。这是因为温度基于 $y$ 轴而变化；因此对于每一个 $dy$ 对应的单位体积，其温度是不变的。这样使得求 $dy$ 对应的能量总量非常方便。
 +</WRAP>
 +<WRAP center round tip 100%>
 +注意单位在运算中的匹配。比如 $1cal$ 对应 $cm^3$ 与 $1C$。如果带入的体积是 $m^3$，那么需要进行换算才能得到正确的，带单位的结果。
 +</WRAP>
 +
 +接下来需要求平均温度。由前面可知，能量可以表示为体积与温度的乘积。根据单位，可以判断出平均温度是基于温度与体积的带权平均值，因此只需要使用总的能量除以总的体积即可得到平均温度值，即：
 +$$
 +\displaystyle \frac{\int _0^1 T\cdot \pi y \,  dy}{\int _0^1 \pi y \,  dy}
 +$$
 +==work, heat & energy==
  • 最后更改: 2023/07/21 02:01
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