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| math:calculus:mooc:mit_1801x:b:applications [2023/09/01 06:04] – [二维重心] codinghare | math:calculus:mooc:mit_1801x:b:applications [2023/09/01 06:33] (当前版本) – [实例：加热所需的能量] codinghare | ||
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| 行 245: | 行 245: | ||
| </ | </ | ||
| ==实例：加热所需的能量== | ==实例：加热所需的能量== | ||
| + | 假设有一个盛满水的锅。锅高 $1m$，其形状满足 $y = x^2$ 曲线。现对其进行加热，已知其底部的水温为 $100C$，如果希望其顶部（开口处）的水温达到 $70C$，需要多少能量？平均水温是多少？ | ||
| + | \\ \\ | ||
| + | {{ : | ||
| + | \\ \\ | ||
| + | 对于第一个问题，首先可以明确我们需要什么样的信息。能量可以通过体积与温度的乘积来表示： | ||
| + | $$ | ||
| + | \displaystyle \underbrace{\text {Heat energy}}_{\text {cal}} = \underbrace{\text {(Volume)}}_{\text {mL}} \cdot \underbrace{\text {(Temperature)}}_{{}^{\circ {}} \text {Celsius}}. | ||
| + | $$ | ||
| + | 因此只需要找出体积与温度的表达式就可以。根据 method of disk，以 $y$ 轴做细分，那么每一层的细分的体积为： | ||
| + | $$ | ||
| + | \pi x^2 \, dy | ||
| + | $$ | ||
| + | 根据温度与 $y$ 轴的关系，可知当前 $y$ 处的温度为： | ||
| + | $$ | ||
| + | T = 100-30y | ||
| + | $$ | ||
| + | |||
| + | 因此，达到底部 $100C$，顶部 $70C$ 水温需要的总能量为： | ||
| + | $$ | ||
| + | \int _0^1 \left(100-30y\right)\cdot \pi y\, dy | ||
| + | $$ | ||
| + | <WRAP center round box 100%> | ||
| + | **为什么使用 //method of disk// 而不是 //method of shell//? | ||
| + | 此处采用了对 $y$ 进行细分，而不是 $x$。这是因为温度基于 $y$ 轴而变化；因此对于每一个 $dy$ 对应的单位体积，其温度是不变的。这样使得求 $dy$ 对应的能量总量非常方便。 | ||
| + | </ | ||
| + | <WRAP center round tip 100%> | ||
| + | 注意单位在运算中的匹配。比如 $1cal$ 对应 $cm^3$ 与 $1C$。如果带入的体积是 $m^3$，那么需要进行换算才能得到正确的，带单位的结果。 | ||
| + | </ | ||
| + | |||
| + | 接下来需要求平均温度。由前面可知，能量可以表示为体积与温度的乘积。根据单位，可以判断出平均温度是基于温度与体积的带权平均值，因此只需要使用总的能量除以总的体积即可得到平均温度值，即： | ||
| + | $$ | ||
| + | \displaystyle \frac{\int _0^1 T\cdot \pi y \, dy}{\int _0^1 \pi y \, dy} | ||
| + | $$ | ||
| + | ==work, heat & energy== | ||