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math:linear_algebra:laff:week_3 [2020/04/08 03:40] – ↷ 链接因页面移动而自动修正 codinghare | math:linear_algebra:laff:week_3 [2020/04/19 12:00] – [矩阵与向量的乘法:Axpy解释] codinghare | ||
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====Special Matrices==== | ====Special Matrices==== | ||
===Partition Matrix into Quadrants=== | ===Partition Matrix into Quadrants=== | ||
- | 这一点值得在学习所有特殊矩阵之前提出来,因为相较于按列划分矩阵的方式 [[math: | + | 这一点值得在学习所有特殊矩阵之前提出来,因为相较于按列划分矩阵的方式 [[math: |
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对上三角矩阵,只需要在每次迭代中对 $A_{10}^T$ 或 $A_{21}$ 所代表的向量赋零即可,也就是: | 对上三角矩阵,只需要在每次迭代中对 $A_{10}^T$ 或 $A_{21}$ 所代表的向量赋零即可,也就是: | ||
- | < | + | < |
- | a10t = 0; //in row | + | a10t = 0; %in row |
- | a21 = 0; // in col | + | a21 = 0; %in col |
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行 302: | 行 302: | ||
* 若 $A、B$ 均为对称矩阵,那么 $A+B$ 也为对称矩阵,$\beta A + \gamma B$ 也为对称矩阵,即对称矩阵的任意线性组合也为对称矩阵。 | * 若 $A、B$ 均为对称矩阵,那么 $A+B$ 也为对称矩阵,$\beta A + \gamma B$ 也为对称矩阵,即对称矩阵的任意线性组合也为对称矩阵。 | ||
===矩阵与向量的乘法:点积解释=== | ===矩阵与向量的乘法:点积解释=== | ||
- | 参考[[math: | + | 参考[[math: |
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\begin{array}{r c l} A x & = & \left( \begin{array}{c c c c } \chi _{0} \alpha _{0,0} + \chi _{1} \alpha _{0,1} + \cdots + \chi _{n-1} \alpha _{0,n-1} \\ \chi _{0} \alpha _{1,0} + \chi _{1} \alpha _{1,1} + \cdots + \chi _{n-1} \alpha _{1,n-1} \\ \vdots \\ \chi _{0} \alpha _{m-1,0} + \chi _{1} \alpha _{m-1,1} + \cdots + \chi _{n-1} \alpha _{m-1,n-1} \end{array} \right) \\ & = & \left( \begin{array}{c c c c } \alpha _{0,0} & \alpha _{0,1} & \cdots & \alpha _{0,n-1} \\ \alpha _{1,0} & \alpha _{1,1} & \cdots & \alpha _{1,n-1} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ \alpha _{m-1,0} & \alpha _{m-1,1} & \cdots & \alpha _{m-1,n-1} \\ \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} \chi _0 \\ \chi _1 \\ \vdots \\ \chi _{n-1} \\ \end{array} \right) \end{array} | \begin{array}{r c l} A x & = & \left( \begin{array}{c c c c } \chi _{0} \alpha _{0,0} + \chi _{1} \alpha _{0,1} + \cdots + \chi _{n-1} \alpha _{0,n-1} \\ \chi _{0} \alpha _{1,0} + \chi _{1} \alpha _{1,1} + \cdots + \chi _{n-1} \alpha _{1,n-1} \\ \vdots \\ \chi _{0} \alpha _{m-1,0} + \chi _{1} \alpha _{m-1,1} + \cdots + \chi _{n-1} \alpha _{m-1,n-1} \end{array} \right) \\ & = & \left( \begin{array}{c c c c } \alpha _{0,0} & \alpha _{0,1} & \cdots & \alpha _{0,n-1} \\ \alpha _{1,0} & \alpha _{1,1} & \cdots & \alpha _{1,n-1} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ \alpha _{m-1,0} & \alpha _{m-1,1} & \cdots & \alpha _{m-1,n-1} \\ \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} \chi _0 \\ \chi _1 \\ \vdots \\ \chi _{n-1} \\ \end{array} \right) \end{array} | ||
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===矩阵与向量的乘法:Axpy解释=== | ===矩阵与向量的乘法:Axpy解释=== | ||
- | 同样参考[[math: | + | 同样参考[[math: |
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行 341: | 行 341: | ||
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该算法中的每个循环不再进行点积操作,而是进行AXPY操作,但得到的任然是一个向量;通过循环将这个向量累加到 $y$ 上,最终也可以得到矩阵与向量相乘的结果。其实质就是一个列优先的双重循环: | 该算法中的每个循环不再进行点积操作,而是进行AXPY操作,但得到的任然是一个向量;通过循环将这个向量累加到 $y$ 上,最终也可以得到矩阵与向量相乘的结果。其实质就是一个列优先的双重循环: | ||
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for i = 0, i <= n -1, ++i | for i = 0, i <= n -1, ++i | ||
for j = 0, j <= m-1, ++j | for j = 0, j <= m-1, ++j |