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| ======Matrix-Vector Operations====== | ======Matrix-Vector Operations====== | ||
| LAFF Week 3 Notes | LAFF Week 3 Notes | ||
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| 本章的核心概念主要在于理解矩阵与向量的乘法的意义。矩阵是一种线性变换（映射），那么向量通过变换得到的结果就是一个新的向量，形式上表现为**矩阵的列的线性组合**。\\ | 本章的核心概念主要在于理解矩阵与向量的乘法的意义。矩阵是一种线性变换（映射），那么向量通过变换得到的结果就是一个新的向量，形式上表现为**矩阵的列的线性组合**。\\ | ||
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| 行 7: | 行 7: | ||
| ====Special Matrices==== | ====Special Matrices==== | ||
| ===Partition Matrix into Quadrants=== | ===Partition Matrix into Quadrants=== | ||
| - | 这一点值得在学习所有特殊矩阵之前提出来，因为相较于按列划分矩阵的方式 [[math: | + | 这一点值得在学习所有特殊矩阵之前提出来，因为相较于按列划分矩阵的方式 [[math: |
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| 对上三角矩阵，只需要在每次迭代中对 $A_{10}^T$ 或 $A_{21}$ 所代表的向量赋零即可，也就是： | 对上三角矩阵，只需要在每次迭代中对 $A_{10}^T$ 或 $A_{21}$ 所代表的向量赋零即可，也就是： | ||
| - | < | + | < |
| - | a10t = 0; //in row | + | a10t = 0; %in row |
| - | a21 = 0; // in col | + | a21 = 0; %in col |
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| - | <img src="/ | + | <img src="/ |
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| 行 234: | 行 234: | ||
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| 行 262: | 行 262: | ||
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| 行 302: | 行 302: | ||
| * 若 $A、B$ 均为对称矩阵，那么 $A+B$ 也为对称矩阵，$\beta A + \gamma B$ 也为对称矩阵，即对称矩阵的任意线性组合也为对称矩阵。 | * 若 $A、B$ 均为对称矩阵，那么 $A+B$ 也为对称矩阵，$\beta A + \gamma B$ 也为对称矩阵，即对称矩阵的任意线性组合也为对称矩阵。 | ||
| ===矩阵与向量的乘法：点积解释=== | ===矩阵与向量的乘法：点积解释=== | ||
| - | 参考[[math: | + | 参考[[math: |
| $$ | $$ | ||
| \begin{array}{r c l} A x & = & \left( \begin{array}{c c c c } \chi _{0} \alpha _{0,0} + \chi _{1} \alpha _{0,1} + \cdots + \chi _{n-1} \alpha _{0,n-1} \\ \chi _{0} \alpha _{1,0} + \chi _{1} \alpha _{1,1} + \cdots + \chi _{n-1} \alpha _{1,n-1} \\ \vdots \\ \chi _{0} \alpha _{m-1,0} + \chi _{1} \alpha _{m-1,1} + \cdots + \chi _{n-1} \alpha _{m-1,n-1} \end{array} \right) \\ & = & \left( \begin{array}{c c c c } \alpha _{0,0} & \alpha _{0,1} & \cdots & \alpha _{0,n-1} \\ \alpha _{1,0} & \alpha _{1,1} & \cdots & \alpha _{1,n-1} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ \alpha _{m-1,0} & \alpha _{m-1,1} & \cdots & \alpha _{m-1,n-1} \\ \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} \chi _0 \\ \chi _1 \\ \vdots \\ \chi _{n-1} \\ \end{array} \right) \end{array} | \begin{array}{r c l} A x & = & \left( \begin{array}{c c c c } \chi _{0} \alpha _{0,0} + \chi _{1} \alpha _{0,1} + \cdots + \chi _{n-1} \alpha _{0,n-1} \\ \chi _{0} \alpha _{1,0} + \chi _{1} \alpha _{1,1} + \cdots + \chi _{n-1} \alpha _{1,n-1} \\ \vdots \\ \chi _{0} \alpha _{m-1,0} + \chi _{1} \alpha _{m-1,1} + \cdots + \chi _{n-1} \alpha _{m-1,n-1} \end{array} \right) \\ & = & \left( \begin{array}{c c c c } \alpha _{0,0} & \alpha _{0,1} & \cdots & \alpha _{0,n-1} \\ \alpha _{1,0} & \alpha _{1,1} & \cdots & \alpha _{1,n-1} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ \alpha _{m-1,0} & \alpha _{m-1,1} & \cdots & \alpha _{m-1,n-1} \\ \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} \chi _0 \\ \chi _1 \\ \vdots \\ \chi _{n-1} \\ \end{array} \right) \end{array} | ||
| 行 310: | 行 310: | ||
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| - | <img src="/ | + | <img src="/ |
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| 行 318: | 行 318: | ||
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| - | {{ math: | + | {{ math: |
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| 行 328: | 行 328: | ||
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| ===矩阵与向量的乘法：Axpy解释=== | ===矩阵与向量的乘法：Axpy解释=== | ||
| - | 同样参考[[math: | + | 同样参考[[math: |
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| 行 341: | 行 341: | ||
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| 该算法中的每个循环不再进行点积操作，而是进行AXPY操作，但得到的任然是一个向量；通过循环将这个向量累加到 $y$ 上，最终也可以得到矩阵与向量相乘的结果。其实质就是一个列优先的双重循环： | 该算法中的每个循环不再进行点积操作，而是进行AXPY操作，但得到的任然是一个向量；通过循环将这个向量累加到 $y$ 上，最终也可以得到矩阵与向量相乘的结果。其实质就是一个列优先的双重循环： | ||
| - | < | + | < |
| for i = 0, i <= n -1, ++i | for i = 0, i <= n -1, ++i | ||
| for j = 0, j <= m-1, ++j | for j = 0, j <= m-1, ++j | ||