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math:statistics:mitx_6_431_x:unit_1 [2023/05/23 08:27] – [收敛] codingharemath:statistics:mitx_6_431_x:unit_1 [2023/05/23 11:21] (当前版本) – [特殊情况] codinghare
行 176: 行 176:
 f(i)=a_i f(i)=a_i
 \end{align} \end{align}
-==收敛==+==数列的收敛与性质==
 简单数学定义：//sequence// 的收敛（//Convergence//），指 //sequence// $a_i$ 在 index $i$ 趋于无穷大时，自身总和 $a_i$ 趋于一个指定的值 $a$，即： 简单数学定义：//sequence// 的收敛（//Convergence//），指 //sequence// $a_i$ 在 index $i$ 趋于无穷大时，自身总和 $a_i$ 趋于一个指定的值 $a$，即：
 $$ $$
-\displaystyle lim_{i\to\infty}a_i=a+\displaystyle \lim_{i\to\infty}a_i=a
 $$ $$
 +可以看出来，//sequence// 的收敛实际上是在看该数列是否在 index 趋于无穷大时存在极限。因此，上述的定义如果用极限定义的方式可以表示为：
 +>For any $\epsilon >0$, there exists $i_0$, such that if $i \geq i_0$, then $$|a_i-a|<\epsilon$$
 +也就是说，当 //sequence// 的长度达到一定限度以后，如果 //sequence// 的值会再以 $[a-\epsilon,a+\epsilon]$ 的这个范围变化的话，那么该 //sequence// 的极限为 $a$，换句话说就是收敛于 $a$。\\ \\ 
 +如果 //sequence// 是收敛的，那么：
 +  * $a_i+b_i$ 收敛于 $a+b$
 +  * $a_i \cdot  b_i$ 收敛于 $a \cdot b$
 +  * 如果 $g$ 是连续的函数，那么 $g(a_i)$ 会于 $g(a)$ 处收敛
 +==数列收敛的条件==
 +条件可以从两种角度来理解：
 +  * 如果 //sequences// 不是一直在增长的，即 $|a_i-a_{a+i}|$ 趋近于 0，那么可以说该 //sequence// 是收敛的
 +  * 如果 //sequence// 的总和与某个点的距离逐渐趋近于 0，那么可以说该 //sequence// 收敛于该点。
 +===无穷级数===
 +<WRAP center round box 100%>
 +本节不用深究，要看详细的去看微积分。真的太坑了，这一节的定义是指的收敛的无穷级数。
 +</WRAP>
 +无穷级数被定义为：
 +$$
 +\sum_{i=1}^{\infty}a_i= \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^{n}a_i
 +$$
 +也就是说，如果存在这样一种无穷数列，其前 $n$ 个元素之和存在极限，那么我们可以说这整个数列是收敛的；换句话说，该数列的（无穷和）是一个 //well-defined//，收敛的，无穷级数。
 +==特殊情况==
 +某些 //sequence// 的元素可能会拥有不同的符号。这种情况下：
 +  * 极限可能不存在
 +  * 极限可能存在但根据求和的顺序会得到不同的极限
 +一个典型的例子就是交错级数，比如下面的例子：
 +$$\sum_{i=1}^{\infty}(-1)^ia_i$$
 +这种情况下，如果 //sequence// 可以表现为非负（绝对值形式），那么我们就可以对其收敛性做出判断。比如上述的例子可以转化为：
 +$$\sum_{i=1}^{\infty}|a_i|$$
 +如果该无穷和是有界的（$< \infty$），那么就能说 ${a_i}$ 是 //well-defined// 的无穷级数
 +==几何级数==
  • 最后更改: 2023/05/23 08:27
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